Extrauppgift I Matematik 5

Hej!

Fick några hemuppgifter och just nu har problem med att lösa tre av dem. Kan nån hjälpa mig här?

Problem 1
I var och en av två lådor, A och B, ligger 20 kulor. Man tar fem kulor ur ur låda A
och lägger i låda B, skakar om låda B och tar sedan på måfå upp femkulor ur låda B
och lägger dem i låda A. Vad är sannolikheten att det efteråt i respektive låda är precis
samma kulor som från början?

Problem 2
a) En fullständig graf av ordning n är en graf med n noder och en kant mellan varje
par av noder.
Hur många kanter finns det i en fullständig graf av ordning n?
b) En fullständig bipartit graf av ordning (n, m) är en graf med n + m noder uppdelade
i två delmängde, A och B, med n respektive m noder i varje och en kant
mellan varje par av noder för vilka den ena noden tillhör A och den andra B.
Hur många kanter finns det i en fullständig bipartit graf av ordning (n, m)?

Problem 3
En fjärdedel av befolkningen har högt blodtryck. I gruppen ‘storätare av lakrits’ är
andelen högre: en tredjedel.
‘Storätarna av lakrits’ utgör 40% av befolkningen.
Om man slumpvis väljer ut en person med högt blodtryck, vad är sannolikheten att det
är en storätare av lakrits?

1/"25 över 5" skulle jag tro. Uppgiften är omständigt skriven. Man lägger i 5 kulor till de befintliga 20 och skakar om och skall dra samma 5 kulor?

5/25 * 4/24 * 3/23 * 2/22 * 1/21 = 1/"25 över 5"


Har läst mkt matematik men förstår inte ett ord av ovan Någon annan kanske har det aktuellt.

Edit: Blev (ytterst smått) intresserad av detta. Kan detta hjälpa dig? (Med viss reservation.)

Edit #2: Kanske detta hjälper dig i b-delen.


Prova Bayes sats.

Du har 25 st kulor i låda b efter förflyttningen.
fem av dessa kulor är i fel låda.
När du flyttar den första kulan från låda 1 till låda 2 så har du: 20% (5/25 eller 1/5) chans att du väljer rätt kula.
Andra flytten så har du 16.6666...% chans (4/24 eller 1/6) att välja en av låda a kulorna.
Tredje flytten har du 13,04% (3/23).
Fjärde flytten har du 9,09%(2/22)
femte flytten har du 4,76% (1/21)
För att räkna ut den sammanlagda chansen så får du multiplicera dessa, alltså 0,2 * 0,16 * 0,13 * 0,09 * 0,04 = 0,000014976. Alltså ungefär 0,0014976%. En mer nogrann beräkning får du göra själv.

0,4 * 0,25 * 1/3 ?

a) Börja med att rita ut grafer med olika ordningar tills du hittar ett samband. Säg att du har 5 noder t.ex. Då kommer varje nod ha 4 kanter kopplat till sig, men eftersom de inte ska räknas dubbelt så får du dela på två.
Alltså d(n) = n(n - 1)/2

b) Blir lite samma tänk. Säg att du har ordning (3, 5). Då kommer varje nod n att ha m kanter och varje nod m ha n kanter kopplade till sig. Samma sak nu att du måste dela med två. En kant ansluter ju till två noder. Alltså d(n) = (n * m + m * n) / 2 = nm

Detta är korrekt, uppgiften kan förenklas till frågeställningen "Om du lägger i 5 kulor i en skål med 20 kulor och sedan blandar, vilken är sannolikheten att du plockar upp samma 5 kulor du lade i?" Lösningen är, som Math-Nerd skriver, 1/"25 över 5".

För att förklara lösningen ytterligare är det man räknar ut med 25 över 5 antalet sätt man kan ta 5 kulor ur 25 stycken i grundmängden. (Om alla kulor får varsin siffra och vi plockar upp kula 1, 2, 3, 4 och 5 är det en kombination, om vi plockar upp kula 6, 16, 17, 3 och 25 är det en annan kombination, och så vidare).

Antalet totala kombinationer som är möjliga är alltså "25 över 5", eller 25! / ( ( 25-5 )! * 5! ), förenklat blir det: 25*24*23*22*21 genom 5*4*3*2*1 = 53 130. Vi söker sannolikheten att man plockar upp exakt de rätta 5 kulorna. Vi vet att endast en kombination motsvarar den "plockningen" som vi letar efter, när man får samma 5 kulor som man har lagt i. Därför delar man antalet positiva utfall med totala antalet utfall, det vill säga 1/53 130. Den exakta divisionen får du utföra själv.

Låt A och B vara händelser. Låt P(A) vara sannolikheten att A inträffar, P(B) sannolikheten att B inträffar och P(A|B) vara sannolikheten att A inträffar givet att vi vet att B inträffar. Bayes sats säger att P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B). Låt B vara händelsen "högt blodtryck" och A"lakritsätare". P(A|B) är då sannolikheten "lakritsätare givet att personen har högt blodtryck". Du har alla andra storheter.