Två korslagda stegar i en korridor

Dra en horisontell linje genom stegarnas skärningspunkt.
Beteckningar enligt figur: https://postimg.cc/image/wbzb1w3bp/

Pythagoras sats:

L1² = b² + (h+k)² ... (1)
L2² = b² + (h+H)² ... (2)

Likformiga trianglar:

k/a2 = h/a1 \ … k = h*a2/a1 \
H/a1 = h/a2 / … H = h*a1/a2 /

Mål: stoppa in uttrycket för k i (1) och uttrycket för H i (2).
Lös därefter ut a1 och a2 och sätt a1 + a2 = b.

k = h*a2/a1 i (1):

L1² = b² + (h² + h²*a2/a1)² = b² + h²((a1 + a2)/a1)²,

L1² = b² + h²b²/a1² ... (3)

H = h*a1/a2 i (2):

L2² = b² + (h + h*a1/a2)² = ...

L2² = b² + h²b²/a2² ... (4)

Lös ut a1 och a2. (3) och (4) ger så småningom

a1 = bh/√(L1² - b²) och a2 = bh/√(L2² - b²).

b = a1 + a2 = bh/√(L1² - b²) + bh/√(L2² - b²).

Landade här:

h*(√(L1² - b²) + √(L2² - b²)) = √((L1² - b²)*(L2² - b²)) ... (*)

Kontroll, L1 = L2 = L:

2h*√(L² - b²) = L² - b² => 2h = √(L² - b²); verkar stämma.

Nästa steg, lös ut b ur (*) :-( ....

Blir det enklare med trigonometri?

Mycket intressant! Klart bättre än min ungdomssynd som involverade 3:e och 4:e-gradsekvationer (fullt lösbara dock). Jag skall studera din lösning mera ingående i e.m. (du har ett skrivfel med h^2 men det är en småsak, jag förstår vad du menar). Mycket intressant.

Trigonometri. Tror inte det blir enklare/snyggare.

Har kollat igen.
Klurigt. Det saknas lite rot-tecken emot slutet när du tecknar a1 och a2.
Själv kom jag inte vidare. Tål att funderas över igen. Detta problem kan väl inte ha "min" absurda lösning som enda lösning, måste finnas någon enklare och självklarare.

Rottecken här i alla fall:

" (3) och (4) ger så småningom

a1 = bh/√(L1² - b²) och a2 = bh/√(L2² - b²). "

Stämmer även dimensionsmässigt: (längd)^1 i VL och HL.
Var har jag tappat rötter?

Knepigt problem hur som helst.

Jag satte b = x och matade in ekvationen i WAlpha som gick bananas.
Klipp (fick inte med alla rader): https://postimg.cc/image/u6e6yorfp/

Jag hade fel! Jag kopierade din text in i texteditor och på vägen försvann rottecknet...

Ja, knepigt. Jag skall fundera vidare på din metod. Nog skall vi knäcka denna. Annars får jag damma av min gamla lösning.

Wolfram: Kul!

Dina räkningar stämmer. Den slutliga ekvationen blir nog svår att lösa. Körde den i Wolfram också. Sjukt svar.

Vi får tänka om tror jag.

Kanske bättre att vända på problemet?

Bestäm höjden h över golvet för stegarnas skärningspunkt då korridorens bredd b
samt steglängderna L1 och L2 är givna. Bivillkor: 0 < b ≤ L1 ≤ L2.

Ekvationen h*(√(L1²-b²) + √(L2²-b²)) = √(L1²-b²) * √(L2²-b²) ger

h = √(L1²-b²) * √(L2²-b²) / (√(L1²-b²) + √(L2²-b²)).

Ett symmetriskt och snyggt svar på en bra fråga.

Skall gräva upp och kontrollräkna min lösning på det första problemet. Återkommer om det.

https://en.wikipedia.org/wiki/Crossed_ladders_problem

Tack för det! Hade ingen aning om detta!

Allt är redan löst - inget nytt under solen...