Bestäm största och minsta värdet av funktionen på triangelskivan

Hej!

Försöker lösa uppgiften i flervariabel nedan.

Uppgiften:
Bestäm största och minsta värde för funktionen

f(x,y)=9xy-33x-6y

på triangelskivan som har hörnen (2,4), (-1,5) och (1,2).



Sätter in punkterna och dessa ger

f(2,4)= -18

f(-1,5)= -42

f(1,2)= -27

Partiella derivator ger mig

dx=9y-33

dy=9x-6

sätter derivatan till 0 = ger punkterna x=2/3 och y=11/3. Sätts in i ekvationen och ger =-22

Får 3 linjära funktioner

mellan (1,2) och (2,4) fås ekvationen y=2x

mellan (-1,5) och (1,2) ger y=7/2 - 3x/2

mellan (2,4) och (-1,5) ger y=14/3-1x/3

insättning av linjära funktionerna i f(x,y)=9xy-33x-6y ger

f(x,2x)= 18x^2 - 33x - 45 =>

f'= 36x-33 => x = 5/4 = i intervallet 1<x<2 => insättning i f(x,2x) = -225/8 = -28.125

påsamma sätt ger de 2 funktionerna ett värde på

f=-1991/6

samt 457/12

Får dock inte till de?

var har jag gjort fel?

Är det en skiva eller en triangel? Eller finns det triangelskivor?

cirkelskiva
triangelskiva
oktagonskiva
etc.

Skärningspunkterna (2,4,-18), (-1,5,-42), (1,2,-27) definierar ett plan i R³. Bestäm först ekvationen för detta plan och därefter funktionens största och minsta värden på den utskurna triangeln.

Eventuellt lite avancerat tror jag, men säkert en slug metod.

Man brukar lösa dem enl. följande:

Randen definieras av punkterna (-1,5), (1,2), (2,4) som bildar en triangel som begränsas av linjerna
y1 = 7/2-3x/2
y2 = 14/3-x/3
y3 = 2x

Studera randen
h1(x)=f(x,y1(x)) = -(3/2) (14 - 5 x + 9 x^2), -1≤x≤1
h2(x)=f(x,y2(x)) = -28 + 11 x - 3 x^2, -1≤x≤2
h3(x)=f(x,y3(x)) = -45 x + 18 x^2, 1≤x≤2

h1'(x)=0 för x=5/18 (ligger i definitionsintervallet)
h2'(x)=0 för x=11/6 (ligger i definitionsintervallet)
h3'(x)=0 för x=5/4 (ligger i definitionsintervallet)

Beräkna funktionsvärden för lokala extrema
h1(5/18) = -479/24
h2(11/6) = -215/12
h3(5/4) = -225/8

Slutligen, hörnpunkterna
f(-1,5)= -42
f(1,2)= -27
f(2,4)= -18

Stationär punkt i (2/3,11/3) som ligger inom definitionsområdet (kollas! viktigt!) och f(2/3,11/3) = -22.

Minsta värde -42 i (-1,5)
Största värde -18 i (2,4)

Ja, krångligt förslag och inte så slugt :-(

Normalerna mot xy-planet genom de givna punkterna skär funktionsytan

f(x,y) = 9xy - 33x - 6y i punkterna: (2,4,-18), (-1,5,-42) och (1,2,-27),

så f måste få sitt största/minsta värde i den skärningspunkt som har störst/minst z-koordinat.

Tillägg: Skärningspunkterna bildar en triangel, så endast triangelhörnen är (när deras z-koordinater skiljer sig åt) lämpliga kandidater.

Den stämmer fortfarande inte?

Borde inte största punkten ligga i mellan (2,4) och (-1,5) ger y=14/3-1x/3?

Jag var nog lite snabb i mina räkningar. Beklagar!

Stationär punkt (som ligger i triangelskivan): (2/3, 11/3)

Begränsningslinjerna är
y_1(x) = 1/2 (7 - 3 x)
y_2(x) = (14 - x)/3
y_3(x) = 2x

Randfunktioner är
r_1(x) = -(3/2) (14 - 5 x + 9 x^2), -1≤x≤1
r_2(x) = -28 + 11 x - 3 x^2, -1≤x≤2
r_3(x) = -45 x + 18 x^2, 1≤x≤2

Sök ev. lokala extrema på randen

r_1´(x)=0 för x = 5/18 (ligger i intervallet -1≤x≤1)
r_2´(x)=0 för x = 11/6 (ligger i intervallet -1≤x≤2)
r_3´(x)=0 för x = 5/4 (ligger i intervallet 1≤x≤2)

Intressanta punkter är därmed:

Stationär punkt (2/3, 11/3)
Lokala extrema x=5/18, x=11/6, x=5/4
Hörnpunkter (-1,5), (1,2), (2,4)

Totalt 7 punkter vars funktionsvärde skall beräknas. Vid avsaknad av y-värde (för de de lokala extrema beräknade ovan) beräknas dessa med hjälp av y_1(x), y_2(x), y_3(x) för respektive linjesegment.

SAMMANFATTNING:

Stationär punkt (2/3, 11/3, -22)

Lokala extrema
(Här får man beräkna bråktalen, men jag förutsätter att denna uppgift tillåter miniräknare.)
(5/18, 37/12, -479/24) = (5/18, 37/12, -19.9583)
(11/6, 73/18, -215/12) = (11/6, 73/18, -17.9167)
(5/4, 5/2, -225/8) = (5/4, 5/2, -28.125)

Hörnpunkter
(-1, 5, -42)
(1, 2, -27)
(2, 4, -18)

Slutligen är
minsta värde: -42 i (-1, 5)
största värde: -215/12 i (11/6, 73/18)