Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  • 1
  • 2
2018-04-09, 18:06
  #1
Medlem
Panzs avatar
Räcker det att visa att en funktion f är injektiv för att visa att den är inverterbar? Jag förstår inte hur för jag har lärt mig att en funktion ska vara både injektiv och surjektiv för att vara en bijektion.
Citera
2018-04-09, 19:22
  #2
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Panz
Räcker det att visa att en funktion f är injektiv för att visa att den är inverterbar? Jag förstår inte hur för jag har lärt mig att en funktion ska vara både injektiv och surjektiv för att vara en bijektion.
Nej, en funktion f måste även vara surjektiv för att vara inverterbar. Annars är inversen inte definierad på hela f:s målmängd.

Det förekommer nog att man inte nämner detta utan implicit begränsar inversen till f:s värdemängd.
Citera
2018-04-09, 19:23
  #3
Medlem
Injektivitet är inte tillräckligt; man måste även ha surjektivitet. Däremot finns det situationer där injektivitet medför surjektivitet, till exempel om din funktion f går från en ändlig mängd X till samma mängd X. I en sådan situation är injektivitet, surjektivitet och bijektivitet ekvivalenta.

Eftersom du inte ger något sammanhang till din fråga finns det inte mycket mer att säga. Varför undrar du?
Citera
2018-04-09, 22:59
  #4
Medlem
Panzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av manne1973
Nej, en funktion f måste även vara surjektiv för att vara inverterbar. Annars är inversen inte definierad på hela f:s målmängd.

Det förekommer nog att man inte nämner detta utan implicit begränsar inversen till f:s värdemängd.

Ja, det är rätt att det funktionen även måste vara surjektiv. Men jag tror att om man bevisar injektivitet och sedan använder sig av ett matematiskt knep, så kanske det räcker att bevisa injektivitet.

Om man löser ut x ur ekvationen y=f(x), så får man x=f^-1(y). Denna algebraisk operation tror jag kan vara det samma som att bevisa injektivietet, men är väldigt osäker. Knepet är att sedan byta plats på x och y, vilket ger y=f^-1(x). Då har man tror jag visat att funktionerna är varandras inverser.

Ge gärna synpunkter på detta, för jag vet inte om det stämmer.
Citera
2018-04-09, 22:59
  #5
Medlem
Panzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Velentr
Injektivitet är inte tillräckligt; man måste även ha surjektivitet. Däremot finns det situationer där injektivitet medför surjektivitet, till exempel om din funktion f går från en ändlig mängd X till samma mängd X. I en sådan situation är injektivitet, surjektivitet och bijektivitet ekvivalenta.

Eftersom du inte ger något sammanhang till din fråga finns det inte mycket mer att säga. Varför undrar du?

Se mitt svar till manne1973.
Citera
2018-04-09, 23:29
  #6
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Panz
Ja, det är rätt att det funktionen även måste vara surjektiv. Men jag tror att om man bevisar injektivitet och sedan använder sig av ett matematiskt knep, så kanske det räcker att bevisa injektivitet.

Om man löser ut x ur ekvationen y=f(x), så får man x=f^-1(y). Denna algebraisk operation tror jag kan vara det samma som att bevisa injektivietet, men är väldigt osäker. Knepet är att sedan byta plats på x och y, vilket ger y=f^-1(x). Då har man tror jag visat att funktionerna är varandras inverser.

Ge gärna synpunkter på detta, för jag vet inte om det stämmer.
Definiera f : (-∞, ∞) → (-∞, ∞) genom f(x) = e^x. Vad är inversen av f?
Citera
2018-04-09, 23:33
  #7
Medlem
Panzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av manne1973
Definiera f : (-∞, ∞) → (-∞, ∞) genom f(x) = e^x. Vad är inversen av f?

Är det f^-1(y)=log(y)?
Citera
2018-04-10, 03:53
  #8
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Panz
Ja, det är rätt att det funktionen även måste vara surjektiv. Men jag tror att om man bevisar injektivitet och sedan använder sig av ett matematiskt knep, så kanske det räcker att bevisa injektivitet.

Om man löser ut x ur ekvationen y=f(x), så får man x=f^-1(y). Denna algebraisk operation tror jag kan vara det samma som att bevisa injektivietet, men är väldigt osäker. Knepet är att sedan byta plats på x och y, vilket ger y=f^-1(x). Då har man tror jag visat att funktionerna är varandras inverser.

Ge gärna synpunkter på detta, för jag vet inte om det stämmer.

Att skriva f^{-1} är att anta vad som skall visas, nämligen att f har en invers. Om y=f(x) har minst en lösning för varje y i målmängden, är f surjektiv; om den har maximalt en lösning för varje y i målmängden är f injektiv.

Eftersom injektivitet inte medför surjektivitet i allmänhet kan det inte finnas något trick som funkar i allmänhet. Det är därför jag frågar efter lite sammanhang.

Citat:
Ursprungligen postat av Panz
Se mitt svar till manne1973.

Det framgår fortfarande inte vad som föranleder frågan. Du säger att du fått lära dig att en funktion måste vara både injektiv och surjektiv för att ha en invers, och vi är alla överens om att så är fallet. Att du nu frågar om saken antyder att någon har hävdat något annat?
Citera
2018-04-10, 07:41
  #9
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Panz
Är det f^-1(y)=log(y)?
Vad är definitionsmängden?
Citera
2018-04-10, 14:20
  #10
Medlem
Panzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Velentr
Att skriva f^{-1} är att anta vad som skall visas, nämligen att f har en invers. Om y=f(x) har minst en lösning för varje y i målmängden, är f surjektiv; om den har maximalt en lösning för varje y i målmängden är f injektiv.

Eftersom injektivitet inte medför surjektivitet i allmänhet kan det inte finnas något trick som funkar i allmänhet. Det är därför jag frågar efter lite sammanhang.



Det framgår fortfarande inte vad som föranleder frågan. Du säger att du fått lära dig att en funktion måste vara både injektiv och surjektiv för att ha en invers, och vi är alla överens om att så är fallet. Att du nu frågar om saken antyder att någon har hävdat något annat?

Om du går in på min länk som leder till en pdf, så kan du på sidan 1 läsa om hur man kan byta plats på x och y. Det verkar som att det kanske finns ett knep.

http://ingforum.haninge.kth.se/armin...625/INVERS.pdf

Det här knepet ska alltså vara ett smidigt sätt att visa surjektivitet efter att injektivitet bevisats.
__________________
Senast redigerad av Panz 2018-04-10 kl. 14:43.
Citera
2018-04-10, 14:23
  #11
Medlem
Panzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av manne1973
Vad är definitionsmängden?

Jag borde skrivit f^-1(y)=ln(y). Definitionsmängden är väl y>0.
Citera
2018-04-10, 17:14
  #12
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Panz
Om du går in på min länk som leder till en pdf, så kan du på sidan 1 läsa om hur man kan byta plats på x och y. Det verkar som att det kanske finns ett knep.

http://ingforum.haninge.kth.se/armin...625/INVERS.pdf

Det här knepet ska alltså vara ett smidigt sätt att visa surjektivitet efter att injektivitet bevisats.

Aha, nu blev det klarare. Nej, det finns inget "knep" i allmänhet. Byter plats på x och y gör man bara för att konventionen är att x är den oberoende och y den beroende variabeln. Som din pdf nämner precis innan: det måste finnas exakt en lösning x för varje y i målmängden.

Det är inte klart från det här dokumentet om V_f betecknar vad jag och manne1973 kallar målmängden, eller om det betecknar den delmängd av målmängden som förekommer som värden. Med andra ord, det kan vara så (beroende på vilken konvention din lärare använder) att f är surjektiv på V_f per definition. Beträffande den frågan får du antingen konsultera andra delar av kursmaterialet, eller fråga din lärare.

Men som sagt, byter plats på x och y gör man bara för att y skall vara en funktion av x i stället för tvärtom. Man kan kalla variablerna vad man vill, det är fortfarande samma funktion.

Slutligen råder jag dig att fundera på manne1973s sokratiska frågor, för de handlar om precis samma sak.
Citera
  • 1
  • 2

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback