Problem att förstå lösningssteg för en ODE-uppgift med Fourierserier

Jag gjorde nyss en Fourierserieuppgift som gick ut på att lösa en andra ordningens differentialekvation, och jag förstår inte riktigt vad de menar på vissa delar av lösningen.
Uppgiften ser ut så här:

http://www.image-share.com/upload/3691/61.jpg

http://www.image-share.com/upload/3691/62.jpg

Det som jag inte förstår är hur de har gjort för att göra om den komplexa lösningen till en reell lösning - alltså från och med den näst sista raden på den första bilden - och jag förstår inte heller riktigt varför de tar upp den där delen "(A + B·t)·exp(-t)" på den andra bilden.
Vad är det som händer vid de delarna?

EDIT:
Jag insåg just att "(A + B·t)·exp(-t)" var den homogena lösningen.
Stirrar mig blind på partikulärlösningarna här.

Hur som helst, jag tror att man kan finna den reella lösningen genom att dela upp summasymbolen i de positiva och negativa värdena och sen göra indexbytet
n → -n på den negativa delen.
Den metoden lät mig åtminstone få samma resultat som facit, och sen bara utnyttjade jag Eulers formler och körde en jävla massa algebra för att få bort de imaginära delarna.