Enkla PDEs

Har letat lite efter lösningar till följande PDEs, men inte hittat något, kanske för att de är för enkla. Skulle vara till stor hjälp för mig om någon ville skänka mig tiden och ge ett lösningsförslag till någon av dem. (Första har jag redan löst).

Låt u = u(x,y).

1) du/dx = 0 => u = f(y) .

2) du/dy + u = 0 .

3) d2u/dy2 + u = 0 .

4) d2u/dxdy = 0 => du/dy = f(y) => u = f(y)·x + h(x) ??

Tydligast blir nog lösandet om man börjar med att multiplicera med integrerande faktorn e^y:
e^y du/dy + e^y u = 0
d(e^y u)/dy = 0
e^y u = A(x)
u = A(x) e^(-y)


Här väljer jag att gå direkt på eftersom jag inte har tid att visa en mer fullständig lösning:
u = A(x) sin(y) + B(x) cos(y)


Nej, i andra steget gör du fel. Det ska vara u = F(y) + h(x), där F'(y) = f(y). Detta gör att lösningen kan skrivas u(x,y) = A(x) + B(y).

Manne har ju redan gett alla lösningar. Kompletterar bara lite.

I 2 och 3 löser du alltså på samma sätt som om det skulle vara en ODE för u(y). Man får då konstanter som bestäms av ev randvillkor. I PDEn blir alla dessa "konstanter" x-beroende.

PDEn i 4 är faktiskt vågekvationen på lite förklädd form, en ekvation som är extremt vanlig i fysik. Kolla här...

https://sv.wikipedia.org/wiki/Vågekv...gebraisk_metod

När det gäller den här typen av elementära uppgifter kan jag verkligen rekommendera Wolframalpha Pro (med ordentliga studentrabatter och prova-gratis-månad). Du skriver bara in din ekvation i fri form och får sedan ett fullständigt lösningsförslag med fullt detaljerade steg.

Ah den är transformerad, eller avdimensionaliserad som jag tror det också kallades. Coolt, tack!


Ska kolla in det, tack!

Yes börjar komma ihåg nu, helt glömt det med ig faktor, tack!