Citat:
Ursprungligen postat av
Dilectus
Sitter med lite transformteori och skulle behöva lite hjälp med en uppgift.
Jag ska invers transformera F(w) = (w+1)/(w^2 + 2x+10)
Först tänkte jag att jag ska faktorisera nämnaren vilket ger imaginära delar. Är dock osäker på om det är rätt metod eftersom jag inte hittar någon/några transformer som kan användas.
Svaret ska bli f(t) = (i/2)·e^(−it−3|t|) ·sgn(t)
F(w) = (w+1)/(w² + 2x + 10) = F(w) = (w+1)/((w+1)² + 9) = G(w+1) där G(w) = w/(w²+9).
Vi kan alltså först finna inverstranformen av G(w) = w/(w²+9) och sedan tillämpa en translationsformel (
formel 103).
Formel 207 ger nästan G(w). Det saknas en faktor w/6. Här antar jag att ni använder transformen enligt tredje kolumnen ("Fourier transform
non-unitary, angular frequency").
Men Fouriertransformen av en derivata ger en faktor iw, så faktorn w/6 kan vi få in genom att ta (1/(6i)) gånger derivatan.
Alltså,
FourierTransform{ e^(-3|t|) } = 6/(w²+9)
FourierTransform{ (1/(6i)) (e^(-3|t|))' } = 1/(6i) · iw · 6/(w²+9) = w/(w²+9)
FourierTransform{ e^(-it) (1/(6i)) (e^(-3|t|))' } = (w+1)/((w+1)²+9) = (w+1)/(w²+2w+10)
Den sökta inverstransformen är alltså
e^(-it) (1/(6i)) (e^(-3|t|))' = e^(-it) (1/(6i)) e^(-3|t|) (-3 sign(t)) = (i/2) e^(-3|t|-it) sign(t).
