Hur hittar man exponentialmatrisen till ett differentialekvationssystem?

Jag skulle behöva lite hjälp med att hitta exponentialmatrisen för ett linjärt differentialekvationssystem av 1:a ordningen.
Uppgiften går ut på att skriva exponentialmatrisen för ekvationslösningarna y₁ och y₂, där systemet från början såg ut på det här sättet:

(y₁)' = 4*y₁ + 2*y₂
(y₂)' = 3*y₁ - y₂

Hur ska jag göra för att skriva exponentialmatrisen till lösningarna y₁ = (4/7)*exp(5*t) + (3/7)*exp(-2*t) och y₂ = (2/7)*exp(5*t) - (9/7)*exp(-2*t)?
Matrisen ska tydligen vara på formen exp(A*t).

Om du diagonaliserar A, A=T*D*T^-1, så är

exp(A*t)=T*exp(D*t)*T^-1

där

exp(D*t)=
[exp(lambda1*t) 0 ]
[ 0 exp(lambda2*t)]

Tackar, nu lossnade det här.

Kul att höra

En annan metod är att använda Cayley-Hamiltons sats. I just det här fallet innebär den att (A-4)(A+1) - 6 = 0, dvs A² = 3A + 10. Detta kan man sedan utnyttja när man utvecklar exp(tA).

Vad var begynnelsevektorn (y1(0), y2(0)) ?

Lösningen till y' = Ay(t) ges av y(t) = exp(At)*y(0)

exp(At) kan du beräkna genom att diagonalisera A = TDT^(-1) och exp (At) = T*exp(Dt)*T^(-1)

D är diagonal med egenvärden lambda på diagonalen så exp(Dt) har exp (lambda*t) på diagonalen
T ges av egenvektorerna som kolonner.

uppenbarligen är y(0) = (1, -1)