Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2017-12-25, 01:40
  #1
Medlem
Jag skulle behöva lite hjälp med att hitta exponentialmatrisen för ett linjärt differentialekvationssystem av 1:a ordningen.
Uppgiften går ut på att skriva exponentialmatrisen för ekvationslösningarna y₁ och y₂, där systemet från början såg ut på det här sättet:

(y₁)' = 4*y₁ + 2*y₂
(y₂)' = 3*y₁ - y₂

Hur ska jag göra för att skriva exponentialmatrisen till lösningarna y₁ = (4/7)*exp(5*t) + (3/7)*exp(-2*t) och y₂ = (2/7)*exp(5*t) - (9/7)*exp(-2*t)?
Matrisen ska tydligen vara på formen exp(A*t).
__________________
Senast redigerad av Mikael861 2017-12-25 kl. 01:47.
Citera
2017-12-25, 02:05
  #2
Medlem
Klafss avatar
Om du diagonaliserar A, A=T*D*T^-1, så är

exp(A*t)=T*exp(D*t)*T^-1

där

exp(D*t)=
[exp(lambda1*t) 0 ]
[ 0 exp(lambda2*t)]

Citat:
Ursprungligen postat av Mikael861
Jag skulle behöva lite hjälp med att hitta exponentialmatrisen för ett linjärt differentialekvationssystem av 1:a ordningen.
Uppgiften går ut på att skriva exponentialmatrisen för ekvationslösningarna y₁ och y₂, där systemet från början såg ut på det här sättet:

(y₁)' = 4*y₁ + 2*y₂
(y₂)' = 3*y₁ - y₂

Hur ska jag göra för att skriva exponentialmatrisen till lösningarna y₁ = (4/7)*exp(5*t) + (3/7)*exp(-2*t) och y₂ = (2/7)*exp(5*t) - (9/7)*exp(-2*t)?
Matrisen ska tydligen vara på formen exp(A*t).
Citera
2017-12-25, 02:15
  #3
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Klafs
Om du diagonaliserar A, A=T*D*T^-1, så är

exp(A*t)=T*exp(D*t)*T^-1

där

exp(D*t)=
[exp(lambda1*t) 0 ]
[ 0 exp(lambda2*t)]
Tackar, nu lossnade det här.
Citera
2017-12-25, 02:16
  #4
Medlem
Klafss avatar
Kul att höra
Citera
2017-12-25, 09:04
  #5
Medlem
En annan metod är att använda Cayley-Hamiltons sats. I just det här fallet innebär den att (A-4)(A+1) - 6 = 0, dvs A² = 3A + 10. Detta kan man sedan utnyttja när man utvecklar exp(tA).
Citera
2017-12-26, 14:07
  #6
Medlem
fermions avatar
Vad var begynnelsevektorn (y1(0), y2(0)) ?

Lösningen till y' = Ay(t) ges av y(t) = exp(At)*y(0)

exp(At) kan du beräkna genom att diagonalisera A = TDT^(-1) och exp (At) = T*exp(Dt)*T^(-1)

D är diagonal med egenvärden lambda på diagonalen så exp(Dt) har exp (lambda*t) på diagonalen
T ges av egenvektorerna som kolonner.
Citera
2017-12-26, 21:46
  #7
Medlem
fermions avatar
Citat:
Ursprungligen postat av fermion
Vad var begynnelsevektorn (y1(0), y2(0)) ?

Lösningen till y' = Ay(t) ges av y(t) = exp(At)*y(0)

exp(At) kan du beräkna genom att diagonalisera A = TDT^(-1) och exp (At) = T*exp(Dt)*T^(-1)

D är diagonal med egenvärden lambda på diagonalen så exp(Dt) har exp (lambda*t) på diagonalen
T ges av egenvektorerna som kolonner.

uppenbarligen är y(0) = (1, -1)
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback