Citat:
Ursprungligen postat av
skommet
Jag förstår inte varför man i b)-uppgiften av denna uppgift (längst ner) inte kan räkna som följande,
P (X_n ≤ n) = P(U_1 + U_2 +... +U_n <= n) = [U is independent identically distributed] = (P(U<=n))^n = [ U is poisson distributed] = and so on = 1^n = 1
Rätta svaret ska vara 1/2, inte 1!
Jag vet hur facit löser denna uppgift (mha a-uppgiften som ger P((X_n - n)/squareroot(n) <= 0) . Jag förstår den lösningen. Inga problem.
Men jag förstår INTE varför man INTE kan göra som ovan?
Här är uppgiften:
Let Ui ∈ Po(1) be independent, for i = 1, 2, . . . ,. Set
def
X_n= U_1 + . . . U_n.
a) Show that
(X_n − n)/squareroot(n)→ N(0, 1).
as n → ∞.
Please justify your steps of solution carefully.
b) Find the limit
P (X_n ≤ n), n --> ∞
Show your calculations.
Du tänker alltså så här:
P(X + Y < 2) = P(X < 2)P(Y < 2) = 1 * 1 = 1
För det första är inte X + Y < 2 ekv med att X < 2 och Y < 2. Det ser du lätt själv.
För det andra beror P(X < 2) på tvåan här. P(X1 < n)...P(Xn < n) = f(n)^n . f(n) beror alltså på n och det är inte klart vad gränsen av f(n)^n blir när n -> oändlig.
Rätt sätt att lösa det här på är:
a) Xn - n = (U_1 - 1) + . . . + (U_n - 1) så enligt centralgränsteoremet sqrt(n)((Xn - n)/n - 0) -> N(0,1) eftersom U_i - 1 har förväntning 0 och varians 1. sqrt(n)((Xn - n)/n - 0) = (Xn - n)/sqrt(n)
b) P (Xn ≤ n) = P(Xn - n < 0) = P( (Xn - n)/sqrt(n) < 0 ) -> P(Z < 0) = 1/2 där Z ~ N(0,1).
