Den binomoska ekvationen z^3 = 8i

Funderar på följande uppgift: Lös den binomoska ekvationen z^3 = 8i

Har fått ett svar från matteuppgiftstråden som jag inte fattar:
Vart kommer 2 ifrån på hos: z = 2e^(iθ) ?

Jag får det till √2 då:
Från z = a + bi får jag a=1 b = 1
Från r = |z| = √(a²+b²) får jag r = |z| =√ 1+1 = √ 2

Tvåan kommer av att 2³=8, dvs absolutbeloppet av 8i.

Avståndet ifrån origo, du beskriver ju avståndet och riktningen av vektorn. Riktningen är bestämd genom att ange vinkeln (den mindre) vektorn bildar med x-axeln. -2i,i-sqrt3,i+sqrt3

Hur räknar du ut att absolutbeloppet av 8i är 2?

Fattade inte riktigt det där. De enda formler jag känner till på området är: bild
Kan du länka till det kursmoment du menar kan vara till hjälp för att lösa uppgiften?

Det är det inte. Absolutbeloppet av 8i är 8.

För att få tvåan tar jag 8^(1/3) där trean kommer från z^3.

Okej har du lust att fortsätta lösningen för uppgiften? Det borde inte vara svårt fattar inte varför jag fastnar här

Absloutbeloppet av 8i är 8 inte 2. Men du hade z^3=8i. Avståndet av z ifrån origo är sqrt(1^2+Sqrt(3)^2).

Är tyvärr lite för rostig på det där.

Okej så alltså √(1² + √3²) Hur räknade du ut det?

Har hittat en lösning till uppgiften:
bild
Ska se om jag blir smartare av den.

Edit: Då undrar jag hur man kan göra antaget: 8i = 8e^(i*pi/2)

Normalt så gör man ansättning på formen a+bi men det visar sig vara opraktiskt i det här fallet. Vi ansätter istället på polär form.
Ansätt istället z=re^itheta
Då får du med hjälp av demoivres formel att z^3=(re^itheta)^3=r^3(e^itheta)^3=r^3e^i3theta

Argumentet är inte entydigt, en multipel av 2pi kommer tillbaka till samma punkt

Du har att

r^3=8 och 3theta=pi/2 +2kpi där k är ett godtyckligt heltal

r=2, theta=pi/2 +2kpi/3

z_k=2e^i(pi/6+2kpi/3) , k={0,1,2}
Svaret ser inte så roligt ut så bättre skriva det på a+bi form, -2i,sqrt3+i,-sqrt3+i

Det gjorde jag sist när jag fått svaret på rektangulör form ,ja du kan skriva 8i ifrån a+bi form till polär form 8e^(i*pi/2)

Ett sätt att tänka är att vad ska du upphöja till 3 för att få 8i?

2i verkar nästan stämma om man rättar till med ett minustecken.

(-2i)^3=(-2i)^2*(-2i)=4i^2(-2i)=-4(-2i)=8i.
En vektor med längden 2 ifrån origo med mindre vinkel med x-axlen 3pi/2 eller -pi/2 smaksak.