Citat:
Ursprungligen postat av
Nail
Tröghetsmomentet kring en axel ℓ definieras:
I_ℓ = ∫ (r⊥)²dm, där r⊥ är masselementets avstånd till ℓ.
Låt n = (n₁,n₂,n₃) vara en normerad riktningsvektor för ℓ.
Då gäller
I_ℓ = ∑ ∑ I_{i,j} n_i n_j,
där I_{i,j} är tensorkomponenterna i det givna koordinatsystemet.
Uttrycket förenklas om koordinataxlarna är huvudaxlar i kroppen:
I_ℓ = I₁n₁² + I₂n₂² + I₃n₃², där I₁, I₂, I₃ är kroppens huvudtröghetsmoment.
Ange alltså stångens huvudtröghetsmoment kring O och låt n i tur och ordning
representera basvektorerna i huvudaxelsystemet.
Om jag förstår dig rätt så inför jag ett lämpligt huvudaxelsystem, bestämmer tröghetstensorn med avseende på detta, och slutligen transformerar jag detta på det rumsfixa koordinatsystemet?
Alltså, jag väljer mitt huvudaxelsystem så att en axel går igenom stången och de andra är roterade valfritt i förhållande till det rumsfixa koordinatsystemet. Jag skulle kunna lägga den ena axeln parallell med xy-planet, den tredje axelns riktning borde då kunna räknas ut genom vektorprodukten
{"Stångens riktning = (cosα, cosβ, cosγ); "2:a axelns riktning i xy-planet" = (x, y, 0)}, vilket ger oss
"Tredje axelns riktning" = (cosα, cosβ, cosγ) × (x, y, 0) = ...
Sedan tar jag komponenterna av dessa och utför beräkningen som du visade?
Om det här är rätt tolkat, hur är det då meningen att från de resterande riktningarna? Trigonometrin verkar rätt komplicerad, vet t.ex. inte hur jag bestämmer huvudaxelns riktning i xy-planet. Jag kan skalära med den kända riktningen, då får jag nämligen ett samband.