Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2017-10-14, 15:14
  #1
Medlem
cirkusregeringuss avatar
Citat:
En stång med massan m och längden l bildar vinklarna α, β och γ med koordinataxlarna enligt figuren. Bestäm stångens tröghetstensor I_O med avseende på origo.

Jag vill sätta ett koordinatsystem i stångens masscentrum, men detta är tydligen inte rätt väg. Finns något annat sätt, kan jag projicera tröghetsmoment?

Vidare vet jag att tröghetsmomentet för en stång med avseende på en axel som ligger vinkelrät mot stångens ände är 1/3ml². Detta ska tydligen vara av användning, men jag förstår inte hur.
__________________
Senast redigerad av cirkusregeringus 2017-10-14 kl. 15:16.
Citera
2017-10-14, 16:22
  #2
Medlem
nihilverums avatar
Citat:
Ursprungligen postat av cirkusregeringus
Jag vill sätta ett koordinatsystem i stångens masscentrum, men detta är tydligen inte rätt väg. Finns något annat sätt, kan jag projicera tröghetsmoment?

Vidare vet jag att tröghetsmomentet för en stång med avseende på en axel som ligger vinkelrät mot stångens ände är 1/3ml². Detta ska tydligen vara av användning, men jag förstår inte hur.

Uppgiftstexten säger ju att man ska bestämma tröghetstensorn relativt origo och inte relativt masscentrum. Det kan vara värt att titta på artikeln på Wikipedia men modifiera tillvägagångssättet för att få ut tensorn relativt origo istället.
Citera
2017-10-14, 16:57
  #3
Medlem
cirkusregeringuss avatar
Citat:
Ursprungligen postat av nihilverum
Uppgiftstexten säger ju att man ska bestämma tröghetstensorn relativt origo och inte relativt masscentrum. Det kan vara värt att titta på artikeln på Wikipedia men modifiera tillvägagångssättet för att få ut tensorn relativt origo istället.

Ja, det stämmer, jag har dock lärt mig att man kan införa att masscentrumsystem, beräkna tröghetsmomenten på dess axlar och sedan förflytta till önskade axlar (Steiner's sats och tröghetsproduktens förflyttningssats). Saken är att stångens symmetriaxel inte är parallell mot någon axel hos det rumfixa koordinatsystemet.

Det hjälpte inte mycket, tyvärr. Samma härledning återfinns i min kurslitteratur. Jag undrar om det finns ett smart sätt att hitta alla sex tröghetsmoment.
Citera
2017-10-14, 17:03
  #4
Medlem
nihilverums avatar
Citat:
Ursprungligen postat av cirkusregeringus
Ja, det stämmer, jag har dock lärt mig att man kan införa att masscentrumsystem, beräkna tröghetsmomenten på dess axlar och sedan förflytta till önskade axlar (Steiner's sats och tröghetsproduktens förflyttningssats). Saken är att stångens symmetriaxel inte är parallell mot någon axel hos det rumfixa koordinatsystemet.

Det hjälpte inte mycket, tyvärr. Samma härledning återfinns i min kurslitteratur. Jag undrar om det finns ett smart sätt att hitta alla sex tröghetsmoment.

Den här sidan visar hur man räknar på tröghetsmoment vid rotation och förskjutning av koordinatsystem. Kombinerar du de två sakerna så bör du alltså kunna få fram tröghetsmomentet relativt origo i din uppgift.
Citera
2017-10-14, 19:54
  #5
Medlem
cirkusregeringuss avatar
Citat:
Ursprungligen postat av nihilverum
Den här sidan visar hur man räknar på tröghetsmoment vid rotation och förskjutning av koordinatsystem. Kombinerar du de två sakerna så bör du alltså kunna få fram tröghetsmomentet relativt origo i din uppgift.

Tack, jag läste igenom sidan men fann inget ny problemlösningsstrategi som hjälper mig i den aktuella uppgiften. Sajten går igenom de satser jag redan kan.

Som jag ser det finns det ingenting som snurrar, utan den utför bara massa olika tröghetsmoment. Jag har suttit och tänkt på det här i flera timmar nu, ju mer jag grubblar desto mindre förstår jag.

Jag tycker mig veta hur man löser uppgifter där den stela kroppen ligger i planet, då kan jag åtminstone använda mig av symmetri för att beräkna tröghetsprodukter och så vidare. Här ges jag inget sådant. Frågan är om jag behöver beräkna varje masselements avstånd till respektive axel för att bestämma tröghetsmomenten...
Citera
2017-10-14, 19:54
  #6
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av cirkusregeringus
Jag vill sätta ett koordinatsystem i stångens masscentrum, men detta är tydligen inte rätt väg. Finns något annat sätt, kan jag projicera tröghetsmoment?

Vidare vet jag att tröghetsmomentet för en stång med avseende på en axel som ligger vinkelrät mot stångens ände är 1/3ml². Detta ska tydligen vara av användning, men jag förstår inte hur.

Tröghetsmomentet kring en axel ℓ definieras:

I_ℓ = ∫ (r⊥)²dm, där r⊥ är masselementets avstånd till ℓ.

Låt n = (n₁,n₂,n₃) vara en normerad riktningsvektor för ℓ.
Då gäller

I_ℓ = ∑ ∑ I_{i,j} n_i n_j,
där I_{i,j} är tensorkomponenterna i det givna koordinatsystemet.

Uttrycket förenklas om koordinataxlarna är huvudaxlar i kroppen:

I_ℓ = I₁n₁² + I₂n₂² + I₃n₃², där I₁, I₂, I₃ är kroppens huvudtröghetsmoment.

Ange alltså stångens huvudtröghetsmoment kring O och låt n i tur och ordning
representera basvektorerna i huvudaxelsystemet.
Citera
2017-10-15, 01:08
  #7
Medlem
cirkusregeringuss avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Tröghetsmomentet kring en axel ℓ definieras:

I_ℓ = ∫ (r⊥)²dm, där r⊥ är masselementets avstånd till ℓ.

Låt n = (n₁,n₂,n₃) vara en normerad riktningsvektor för ℓ.
Då gäller

I_ℓ = ∑ ∑ I_{i,j} n_i n_j,
där I_{i,j} är tensorkomponenterna i det givna koordinatsystemet.

Uttrycket förenklas om koordinataxlarna är huvudaxlar i kroppen:

I_ℓ = I₁n₁² + I₂n₂² + I₃n₃², där I₁, I₂, I₃ är kroppens huvudtröghetsmoment.

Ange alltså stångens huvudtröghetsmoment kring O och låt n i tur och ordning
representera basvektorerna i huvudaxelsystemet.

Om jag förstår dig rätt så inför jag ett lämpligt huvudaxelsystem, bestämmer tröghetstensorn med avseende på detta, och slutligen transformerar jag detta på det rumsfixa koordinatsystemet?

Alltså, jag väljer mitt huvudaxelsystem så att en axel går igenom stången och de andra är roterade valfritt i förhållande till det rumsfixa koordinatsystemet. Jag skulle kunna lägga den ena axeln parallell med xy-planet, den tredje axelns riktning borde då kunna räknas ut genom vektorprodukten

{"Stångens riktning = (cosα, cosβ, cosγ); "2:a axelns riktning i xy-planet" = (x, y, 0)}, vilket ger oss

"Tredje axelns riktning" = (cosα, cosβ, cosγ) × (x, y, 0) = ...

Sedan tar jag komponenterna av dessa och utför beräkningen som du visade?

Om det här är rätt tolkat, hur är det då meningen att från de resterande riktningarna? Trigonometrin verkar rätt komplicerad, vet t.ex. inte hur jag bestämmer huvudaxelns riktning i xy-planet. Jag kan skalära med den kända riktningen, då får jag nämligen ett samband.
Citera
2017-10-15, 12:52
  #8
Medlem
Nails avatar
Jag får backa eftersom jag slarvläste och missade att uppgiften går ut på att bestämma samtliga komponenter i tröghetstensorn för stången.

Nystart: teckna tröghetsmatrisen (I_ij) i huvudaxelsystemet Ox₁x₂x₃, där x₃-axeln är riktad längs stången.
Då gäller: I₁ = I₂ = ml²/3 och I₃ = 0, så
Kod:
         / ml²/3  0   0 \
(I_ij) = |   0  ml²/3 0 |
         \   0    0   0 /

För att bestämma tröghetsmatrisen i det givna koordinatsystemet Oxyz bör vi alltså vrida huvudaxelsystemet Ox₁x₂x₃ så att det sammanfaller med Oxyz.

Nästa steg: bestäm koordinattransformationen för vridningen.
Citera
2017-10-15, 19:32
  #9
Medlem
cirkusregeringuss avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Jag får backa eftersom jag slarvläste och missade att uppgiften går ut på att bestämma samtliga komponenter i tröghetstensorn för stången.

Nystart: teckna tröghetsmatrisen (I_ij) i huvudaxelsystemet Ox₁x₂x₃, där x₃-axeln är riktad längs stången.
Då gäller: I₁ = I₂ = ml²/3 och I₃ = 0, så
Kod:
         / ml²/3  0   0 \
(I_ij) = |   0  ml²/3 0 |
         \   0    0   0 /

För att bestämma tröghetsmatrisen i det givna koordinatsystemet Oxyz bör vi alltså vrida huvudaxelsystemet Ox₁x₂x₃ så att det sammanfaller med Oxyz.

Nästa steg: bestäm koordinattransformationen för vridningen.

Tack! Nu tror jag att jag förstår
Citera
2017-10-19, 00:21
  #10
Medlem
cirkusregeringuss avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Nail

Så då har jag löst det, och för framtida läsare som kanske själva fastnat på problemet tänker jag redovisa lösningen.

Stången är endimensionell och rät. Vi kan tänka oss att en axel sammanfaller med stången och som vi kallar S. Axeln har koordinaten s (arklängd).

Vidare har vi att ett masselement ges av

dm = ρ ds, där ds är ett arklängdselement (säger sig självt). Vi fortsätter,

= m/l ds. Så, vi vet att tröghetsmomenten och tröghetsprodukterna ges av bestämda integraler (eller summor). Jag återger inte dem här. Men för att beräkna dessa krävs att vi kan uttrycka x, y och z med den införda s variabeln. Nu till det kritiska: Om vi låter ett plan skära de kartesiska axlarna, var för sig, med S axeln så ser vi att vi kan projicera s på resp axel (vi känner ju till vinkeln mellan samtliga axlar till S axeln).

Vi får

x = s cosα
y = s cosβ
z = s cosγ .

Resten är vanlig matematik.
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback