Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2017-10-11, 20:29
  #1
Medlem
Förstår inte hur man kommer fram till resultatet... någon som vet?

A - 2x2 matris som ser ut som jag postat i länken (inklusive svaret)
N - ett heltal
A^N

Det går inte att diagonalisera matrisen såsom
A = X^-1 D X
Därför att A har en dubbelrot (och därmed samma egenvektorer) och då följer att det X = 0. Allstå finns inte X^-1

Latex koden jag bifogat som text går att kopiera in hos:
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

https://latex.codecogs.com/gif.latex...D%29%20%3D%200

Här är latex-kod för att uträkning av egenvärden/egenvektorer:
\\
\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0;\lambda_{1,2}=2\\
\mathbf{v}_{1,2} = \begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix} \\

\mathbf{X} = \begin{pmatrix}
1 & 1\\
2 & 2
\end{pmatrix}
\\
det(\mathbf{X}) = 0


https://latex.codecogs.com/png.latex...d%7Bpmatrix%7D


Här är latex-koden för problemet:
\begin{pmatrix}
4 & -1 \\
4 & 0
\end{pmatrix} ^ N
= [hur?] =
\begin{pmatrix}
2^N(1+N) & -N2^{N-1} \\
4N2^{N-1} & 2^N(1-N)
\end{pmatrix}
__________________
Senast redigerad av iSearch 2017-10-11 kl. 20:41. Anledning: Lade till uträkning av egenvärden och egenvektorer
Citera
2017-10-11, 21:52
  #2
Medlem
Det går alldeles utmärkt att diagonalisera en matris som har flera egenvärden med högre multiplicerar än två. Kravet är då att om den har en dubbelrot så måste den dubbelroten producera två egenvektorer. D.v.s, den geometriska multipliciteten är densamma som den algebraiska.

Edit: är X din ursprungliga matris? Vilken är matrisen som du försöker diagonalisera?
__________________
Senast redigerad av Woozah 2017-10-11 kl. 21:55.
Citera
2017-10-12, 09:16
  #3
Medlem
Jag fick dela upp ekvationerna i två delar... de blev för långa för online variationen...
Så här har jag angripit problemet (och inte löst uppgiften).
Länk del 1:
https://latex.codecogs.com/gif.latex...%5ENT_%7BDE%7D

Länk del 2:
https://latex.codecogs.com/gif.latex...7D%20%3D%20%3F

Kod del 1:
A_E = \begin{pmatrix}
4 & -1 \\
4 & 0
\end{pmatrix} ^ N
\\
\texttt{Diagonalisering av matrisen skrivs som ett basbyte dar } D_{\lambda} \texttt{ ar en bas for egenrummet } T_{DE}, T_{ED} \texttt{ ar en transformation fran D till E samt E till D }
\\
D_{\lambda} = diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) =
\begin{pmatrix}
\lambda_1 && && && 0\\
&& \lambda_2 \\
&& && ... \\
0 && && && \lambda_n
\\
\end{pmatrix}
\\
A_E = T_{ED}D_{\lambda}T_{DE}
\\
\texttt{Nu ar }T_{ED} = T_{DE}^{-1} \texttt{ da foljer}
\\
A_E^N = T_{ED}D_{\lambda}^NT_{DE}


Kod del 2:
\\
\texttt{Karakteristiska polynomet ges av determinanten av }A_E
\\
\begin{vmatrix}
4-\lambda && -1
\\
4 && -\lambda
\end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \lambda^2-4\lambda+4 = 0 \Leftrightarrow (\lambda-2)^2 = 0
\\

\texttt{Vi far } \lambda_1 = \lambda_2 = 2
\\
\texttt{Hitta egenvektorer for fallen } \lambda_{1,2} = 2
\\
\begin{pmatrix}
2 && -1
\\
4 && -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 && -1
\\
0 && 0
\end{pmatrix}
\left\{\begin{matrix}
2x_1-x_2 = 0\\
x_2 = t
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_1 = \frac{1}{2}t\\
x_2 = t
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}
\\
\texttt{satt t = 2 och en egenvektor ar } \mathbf{v}_{1,2} = \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}
\\
T_{DE} = \begin{pmatrix}1 && 1\\ 2 && 2 \end{pmatrix}
\\
T_{ED} = T_{DE}^{-1} = ?
__________________
Senast redigerad av iSearch 2017-10-12 kl. 09:22.
Citera
2017-10-18, 15:32
  #4
Medlem
Hittade lösningen till sist och postar den om någon annan tycker det är av intresse...

https://latex.codecogs.com/gif.latex...%7BKlart%21%7D

Kod
A^n = ?, A = \begin{pmatrix}4 & -1\\4 & 0 \end{pmatrix}
\\
\texttt{Karakteristiska polynomet ger } \lambda_1 = \lambda_2 = 2 \texttt{ med en egenvektor, ej diagonaliserbar. Omskrivning:}
\\
A = 2I + A - 2I = 2I + B, B = A - 2I =
\begin{pmatrix}2 && -1\\ 4 && -2 \end{pmatrix}, B^2 = 0
\\
A^n = (2I + B)^n = \binom{n}{0}2^nI + \binom{n}{1}2^{n-1}B + \binom{n}{2}2^{n-2}B^2 + ... + \binom{n}{n}B^n = 2^nI+ n2^{n-1}B + 0 = 2^{n-1}(2I+nB) = 2^{n-1}\begin{pmatrix}2+2n&-n\\4n& 2-2n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2^n(1+n)&-2^{n-1}n\\2n2^n& 2^n(1-n) \end{pmatrix}
\texttt{Klart!}
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback