Jag fick dela upp ekvationerna i två delar... de blev för långa för online variationen...
Så här har jag angripit problemet (och inte löst uppgiften).
Länk del 1:
https://latex.codecogs.com/gif.latex...%5ENT_%7BDE%7D
Länk del 2:
https://latex.codecogs.com/gif.latex...7D%20%3D%20%3F
Kod del 1:
A_E = \begin{pmatrix}
4 & -1 \\
4 & 0
\end{pmatrix} ^ N
\\
\texttt{Diagonalisering av matrisen skrivs som ett basbyte dar } D_{\lambda} \texttt{ ar en bas for egenrummet } T_{DE}, T_{ED} \texttt{ ar en transformation fran D till E samt E till D }
\\
D_{\lambda} = diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) =
\begin{pmatrix}
\lambda_1 && && && 0\\
&& \lambda_2 \\
&& && ... \\
0 && && && \lambda_n
\\
\end{pmatrix}
\\
A_E = T_{ED}D_{\lambda}T_{DE}
\\
\texttt{Nu ar }T_{ED} = T_{DE}^{-1} \texttt{ da foljer}
\\
A_E^N = T_{ED}D_{\lambda}^NT_{DE}
Kod del 2:
\\
\texttt{Karakteristiska polynomet ges av determinanten av }A_E
\\
\begin{vmatrix}
4-\lambda && -1
\\
4 && -\lambda
\end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \lambda^2-4\lambda+4 = 0 \Leftrightarrow (\lambda-2)^2 = 0
\\
\texttt{Vi far } \lambda_1 = \lambda_2 = 2
\\
\texttt{Hitta egenvektorer for fallen } \lambda_{1,2} = 2
\\
\begin{pmatrix}
2 && -1
\\
4 && -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 && -1
\\
0 && 0
\end{pmatrix}
\left\{\begin{matrix}
2x_1-x_2 = 0\\
x_2 = t
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_1 = \frac{1}{2}t\\
x_2 = t
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\mathbf{v} = t \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}
\\
\texttt{satt t = 2 och en egenvektor ar } \mathbf{v}_{1,2} = \begin{pmatrix}1\\2 \end{pmatrix}
\\
T_{DE} = \begin{pmatrix}1 && 1\\ 2 && 2 \end{pmatrix}
\\
T_{ED} = T_{DE}^{-1} = ?