Fråga om kvaternioner (i^j^k = ?)

Ok, bra! Och ursäkta, kunde nog ha varit tydligare med formlerna jag utgår från i wikipedialänken jag gav. Dessa är (omskrivet på lite snyggare form, imho):

q = a + bi + cj + dk = a + i'v
där
i' = v/v
v = bi + cj + dk
v = |v| = √(a^2 + b^2 + c^2)
(Poängen är att i' uppför sig väldigt likt det vanliga komplexa i, t ex att i'^2 = -1.)

e^q = e^a (cos v + i' sin(v))

ln q = ln|q| + i' arccos(a/|q|)
där
|q| = √(a^2 + v^2)

Dessa är exakt samma formler som för exp(q) och ln(q) om q bara är ett vanligt komplext tal, q=a+iv, om man bara låter i=i', och de kan bevisas på samma sätt.

Blev ett fel i formeln för v. Ska förstås vara

v = |v| = √(b^2 + c^2 + d^2)

Formeln för ln q är enklare än ln z för komplexa tal. Detta är dock rätt (förutom att man nog precis som för komplexa tal kan välja "gren", dvs om man ska lägga till eller dra ifrån några hela varv). För komplexa tal vill vi ju hitta vinkeln mellan z och real-axeln, och med bara arccos(Re(z)/|z|) så får vi bara vinkeln rätt om Im(z)>0. MEN det funkar faktiskt med våra formler för kvaternioner, eftersom det finns lite extra information i i'. q har ju *alltid* en positiv komponent i i'-riktningen: +i'v.

Har läst igenom svaren i tråden och har några kommentarer för den som är intresserad.

. Det var kanske vad Igni-ferroque menade, men för tydlighetens skull så finns inget möjligt val av ordningen på faktorerna i ln(q1^q2),
q1^q2 = (e^ln(q1))^q2 = e^(ln(q1) q2)
så
ln(q1^q2) = ln(q1) q2.

. Angående flervärdheten hos ln(q). Givet uttrycket
exp(v) = cos|v| + (v / |v|) sin|v|
kan man se att exp(n 2 pi v) = 1 för alla imaginära v av norm 1, och alla n i N. Urbilden av exp(q) är en union av koncentriska sfärer med radier n 2 pi (vilket generaliserar det komplexa fallet: i uttrycket
ln(z) = ln|z| + i Arg(z) + n 2 pi i
motsvarar den sista termen en union av 0-dimensionella cirklar med multiplar av 2 pi som radier). Det är alltså inte korrekt att skriva, t.ex.,
ln(j) = j pi / 2 + n 2 pi j.

. Det finns ingen "extra information" i det nerdnerd kallar i', b kan fortfarande vara negativ. Om
z = r e^(i t) = a + i b = a + v
är komplext, så är
ln|z| + (v / |v|) arccos(a / |z|)
= ln(r) + (i b / |b|) arccos(cos(t))
= ln(r) + (i sgn(b)) (sgn(b) t + n 2 pi)
= ln(r) + i t + n 2 pi i,
vilket är den vanliga komplexa logaritmen.

Det där får du gärna motivera. Detta är väl bara en definitionsfråga? OM q1 och q2 är reella eller komplexa gäller ju även att
ln(q1^q2) = q2 ln q1.
Det är väl inte bara så att du menar att själva skrivsättet q1^q2 implicerar en ordning? Inte alls självklart tycker jag. Man hade ju t ex lika gärna kunnat använda skrivsättet f(q2,q1) som för reella och komplexa tal definierades som q1^q2. Men i detta f(q2,q1) ser ju ordningen annorlunda ut.

Håller med. Detta är ju inte annorlunda än att t ex funktionen arcsin(x) definieras som ETT värde, mellan 0 och pi.

Eh.. Jo, det finns visst extra information där. På samma sätt som i vanlig vektoralgebra med en vektor v, med enhetsvektorn
e = v/v
där v = |v|
så kan v skrivas som
v = v e
där v förstås alltid är positiv. All information om riktning finns ju i e.

Du menar väl ändå att det bara finns ett val av ordning?

Jag motiverade det genom att visa att exponentialen av ln(q1) q2 är lika med q1^q2, detta är definitionen av logaritmen. Att något "bara" är "en definitionsfråga" innebär inte att alla möjliga definitioner är "lika rätt" givet kontexten. Om du vill ha ln(q1^q2) = q2 ln(q1) måste du, för att behålla en konsistent formalism, som du själv noterat, sätta exponenten till vänster om basen, eller låta (a^q1)^q2 = a^(q2 q1). Ja, man hade lika gärna kunnat använda skrivsättet f(q2, q1) för potensen q1^q2, men det gör man inte.


Om du vill, jag överlåter gladeligen frågan om huruvida ett val med ett enda alternativ verkligen är ett val till stjärnorna i Filosofi-delforumet. Att faktorerna har en ordning torde framgå klart från paragrafen i sin helhet.


Vad håller du med om? Det är inte flervärdheten i sig jag anmärker på, det är att fibern ovanför (i exemplet) j innehåller mycket mer än j pi / 2 + n 2 pi j, den är varken uppräknelig eller diskret. Det är sant att varken exp(q) eller sin(x) är ett-till-ett, ungefär där slutar också likheterna.


Kanske jag missförstår vad du menar med "extra information", och vilken relevans den skulle ha? Hur som, som jag visade så är uttrycket för ln(q) lika med den komplexa logaritmen om q är komplext, hur kan den då vara "enklare än ln z för komplexa tal"?

Menar du verkligen att ln(q1^q2) = ln(q1)q2 bara därför att q1^q2 skrivs med q1 till vänster och q2 till höger? Eller är det något jag missar? Vad menar du här med "konsistent formalism"? (Rätt eller fel, tänker jag annars på ett annat ordningsproblem som jag är lite mer bekant med: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_order.)

Ok. Fiber. Och inte diskret. Inte uppräknelig. Kristallklart. SO(3). Tack.

Ok. Ln(z) kan förstås skrivas på samma sätt. Och då menar jag bara det triviala att ib/|b| har lite mer information än bara i.

Asså, det här är ett jäkla bra inlägg. Tack. Jag har lärt mig något. Bara ett litet frågetecken just om ordningen, men det kan jag leva med.

På samma sätt som i = e^(i π/2) gäller j = e^(j π/2). Men vi har även j = e^(j (π/2 + n 2π)) för varje heltal n.

Genom formeln/definitionen (e^u)^v = e^(uv) ger detta
j^k = e^(j (π/2 + n 2π) k) = { jk = i } = e^(i (π/2 + n 2π)) = i.

Nu får vi alltså
i^(j^k) = i^i = (e^(i (π/2 + m 2π))^i = e^(i (π/2 + m 2π) i) = e^(-(π/2 + m 2π))
= e^(-(π/2)) e^(-2π)^m
för heltal m.

Resultatet är alltså flervärt på formen C a^m, där C = e^(-(π/2)), a = e^(-2π) och m är ett heltal (vilket gör att vi lika gärna kan ta a = e^(2π)).

Knepigt det här ändå tycker jag. Har du tagit hänsyn till att e^q•e^q' *inte* i allmänhet är lika med e^(q+q') när q och q' inte kommuterar?

Dvs om t ex e^q'=1 så innebär inte det alltid att e^(q+q')=e^q. Så hur ser urbilden till e^q ut egentligen?

En ansats: lös e^(q'+q)=e^q för q'.
Låt q=a+v och q'=a'+q' och a"+v"=q"=q+q'=a+a'+v+v'.
Ekvationen blir alltså
e^a"(cos|v"|+(v"/|v"|)sin|v"|)=e^a(cos|v|+(v/|v|)sin|v|)

Vilket efter lite meck, iaf för mig, ger lösningarna
a"=a, dvs a'=0
v" = v + 2πn v/|v|, dvs v'=2πv/|v|
Dvs inga koncentriska skal, utom när vi löser för v=0. Annars blir det ju diskret, i samma riktning som v.

Är det möjligen så att du ändå sopar en del lite väl lättviktig under mattan, om ickekommutativitet och ordning och så?

Tänker också att en kvaternionekvation ju kan ses som FYRA ekvationer för fyra obekanta, inte som bara en ekvation för 4 obekanta (inklusive realdel) eller som 3 (för i, j och k-delarna). 2D-lösningar borde iaf vara ett undantag, och diskreta lösningar regeln.

Jo, du har rätt, jag förhastade mig gällande geometrin för den generiska fibern. Det stämmer att pga icke-kommutativitet så är e^q1 e^q2 inte lika med e^(q1 + q2), istället ges ln(e^q1 e^q2) av Baker-Campbell-Hausdorffs formel, vilken har en sluten form för kvaternionerna (dvs för SU(2)). Där slutade jag att tänka, men om man skriver ut den i detalj ger den diskreta fibrer för icke-reella q. (Man kan ju se det direkt på uttrycket för exp(q) också, som du skriver. Om cos|v| = 0 så |v| = pi / 2 + n pi och j = (v / |v|) sin|v| = (-1)^n (v / |v|) så v = (-1)^n j (pi / 2 + n pi). Om n = 2 k så v = j (pi / 2 + 2 k pi), om n = 2 k - 1 så v = j (-pi / 2 - (2 k - 1) pi) = j (pi / 2 - 2 k pi).) Ber om ursäkt om jag lyckades förvilla någon med min ofärdigtänkta tanke. Kommentaren är dock fortfarande giltig om än i mindre utsträckning, exp(q) har degenererade fibrer över den reella axeln.