Talet i, hur används den?

Läste matematik 1b och 2b, fick E på båda kurser (gymnasienivå). När jag läste 2b-kursen så var det mest att läraren nämnde att talet i finns o om talet är negativt eller nåt sånt. Men gick aldrig in o gjorde mattetal om det. Men hur används den? Är det t.ex 2-3= 1i ?

Det smått magiska talet i är svaret på frågan "Vilket tal gånger sig självt blir -1?"

För gemene man kan jag förstå att det kan låta lite knäppt med ett tal som i kvadrat blir minus ett, men det fungerar. Och inte bara fungerar, det visar sig att det är riktigt användbart: om du räknar på strömmar i elektronikkretsar så använder du komplexa tal (som det heter) för att beskriva växelströmmarna.

Komplexa tal har två delar, en reell och en imaginär. Man brukar skriva dem i stil med 2+5i. Det finns andra sätt att representera dem också, beroende på vad man vill göra med dem.

En liten utveckling: den irländske matematikern Hamilton ( https://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton ) kom på att man kan utveckla idéen med komplexa tal lite till, och istället för att ha två delar så har hans kvaternioner fyra delar!

Vanligt förekommande geometrisk förklaring av -1 och i: https://i.snag.gy/9nOWEy.jpg

Komplexa tal (som har en komponent längst i-axeln) är alltså tal som är förskjutna från vanliga tallinjen (horisontella axeln ofta tänkt som x-axeln), upp i planet.

i och 2i och liknande ligger precis längst den vertikala axeln (ofta tänkt som y-axeln, men här är det snarare i-axeln), medan 2 + i ligger "på båda axlarna": https://i.snag.gy/7Ip0wA.jpg

Det finns ingen "hemlighet" bakom talet i. När jag säger att i^2 = -1 är definitionen av i så är det hela sanningen. Att den imaginära enheten (i, alltså) faktiskt är användbar är det enda som urskiljer den från andra saker vi kan definiera. Den geometriska tolkningen som introducerats i inlägg ovan är inte fel, men den döljer enkelheten i definitionen.

De talen du har jobbat med är de som tillhör den reella tallinjen.
Till vardags så räcker dessa talen till allt.

Du kan t.ex. räkna ut hur mycket maten kostar, hur många deciliter vetemjöl du ska ha för att baka till 3 personer istället för 5 eller hur många promille du har i blodet efter 3 stor stark.

I matematiken så kan man använda dessa talen till otroligt mycket också. Men det finns frågor i matematiken där dessa talen inte förtäljer hela sanningen Ett vanligt exempel som du har stött på är andragradsekvationer som inte kan lösas med PQ-formeln. T.ex. x^2+9=0.

I hopp om att hitta en större underliggande matematik i dessa frågor som inte kan besvaras med reella tal så testade man att introducera ännu fler tal. Tal som har egenskaper som vi till vardags inte är vana vid.

Talet i är ett exempel som introducerar de s.k. komplexa talen.
Talet i har egenskapen i^2 = -1.

Exempelekvationen ovan kan nu lösas enligt följande:
x^2 + 9 = 0 (Subtrahera med 9 på båda sidor)
x^2 = -9 (Bryt ut -1 i H.L.)
x^2 = (-1)*9 (Ta roten ur på båda sidor)
x = √(-1) * √9 (Använd att i^2 = -1)
x = i*3 = 3i


Med de komplexa talen så kan vi lösa samtliga ekvationer som vi matematiskt förväntar oss ska ha en lösning. Det intressanta är att det finns ännu "större" strukturer med tal som har en ännu rikare geometri än vad de komplexa talen visar sig ha.

Skulle man inte också kunna säga att de imaginära talen har en viss användning när man skriver komplexa representationer av exempelvis vågrörelseekvationer?
Såna vågor brukar man ju lägga ihop som vektorer i det komplexa talplanet (där de imaginära talen är "y-axeln") och den metoden gör att det i regel blir mycket lättare att addera ihop dem.

De komplexa talen har stor användning. Det handlar inte bara om att lösa andragradsekvationer eller beskriva vågor. Genom att gå ut i det komplexa talplanet kan man bestämma integraler av många integraler, även när dessa är reella.