Lös ekvation med komplexa tal

Lös först ekvationen w^2=5/4 +3i

och därefter, med hjälp av detta, ekvationen z^2-(1+6i)z-10=0

I första ekvationen kan jag sätta w=a+bi första sedan sätta realdelarna lika och imaginärdelarna lika. Får sedan ett ekvationssystem med två obekanta. Jag skulle gärna få hjälp att göra detta praktiskt. Sedan förstår jag inte hur detta svar kan användas för att lösa den andra ekvationen.

Ska det föreställa (5/4) + 3i eller 5/(4+3i)?

(5/4)+3i

(5/4) + 3i, ledsen för otydligheten.

Om du kvadratkompletterar den andra ekvationen får du en ekvation som är ekvivalent med den första:

z² - (1+6i)z - 10 = 0,

(z - (1/2 + 3i))² - 10 = (1/2 + 3i)²,

(z - (1/2 + 3i)² = 10 + 1/4 + 3i - 9 = 5/4 + 3i.

Sätt w = z - (1/2 + 3i), vilket ger

w² = 5/4 + 3i.

Gör du detta får du ekvationerna:

a^ 2 - b^2 = 5/4 (1)
2ab = 3 (2)

Men det finns även en tredje ekvation gömd här. Ta absolutbeloppet på båda sidor. Då får du

a^2 + b^2 = sqrt(25/16 + 9) = sqrt(169/4) = 13/4 (3)

Från (1) och (3) är det enkelt att bestämma a. Använd sedan (2) för att beräkna b.