Räkna ut en stegrande diameter?

Hej! Eftersom jag är såpass dum att jag inte var närvarande på gymnasiets mattelektioner så klarar jag inte av att skapa en enkel formel för uträknande av en stigande diameter.

Mitt företag tillverkar rullgardiner och har ett återkommande problem att vi inte har matematiskt kunskap för att räkna ut den totala diameter på rullen plus tyg.

Så om någon sitter inne på en enkel ekvation där man kan räkna ut totala diametern på manteln plus tjockleken på tyg i kombination med längd så vore jag evigt tacksam!

Tack på förhand.

Om rullen har en diameter på A mm, tyget har en längd på B mm, tjocklek på C mm och ni rullar den riktigt tätt så borde diametern vara (minst)

sqrt((4BC/pi)+A²) mm

men då har jag utgått ifrån att det inte finns någon luft mellan rullen och utsidan på tyget, så någon procentuell avvikelse får ni räkna med. Du kan ju jämföra den här formeln med några rullade gardin och se hur mycket det skiljer.

Antag rullen har diametern a och tygets tjocklek är c. Tjockleken c är tyg + lite luft.
Första varvet har diametern a och omkretsen pi*a. Nästa varv har diametern a+c och omkretsen pi*(a+c) osv. Man får en algebraisk serie. Efter n varv blir tjockleken a+(n+1)*c.
Och om jag inte räknar fel så blir längden av n varv pi*a*n + pi*(n+1)(n+2)*c/2.
Kan hända jag räknat fel på något varv, men ungefär så här. Har använt summan sv en algebraisk serie.
Jag tror vi haft ett liknande problem med rullband till bandspelare och jag hade ett problem med längden av en filmrulle.
Och dessutom har jag inte tagit hänsyn till att tjockleken ökar kontinuerlig, jag har räknat med språngvis ökning av diametern. Men det borde duga!

Ps
RW - Kan du förklara din formel?

En annan variant, som påminner om rw, är att beräkna arean av rullen och dela med tjockleken på tyget. Hela rullens area är pi*(a+b)^2 om a är tomrullen och b är tyget på rullen. Dra ifrån tomrullen och du får pi*(b^2+2*a*b) . Dela med c och du har längden på tyget.

Ps
(a+b)^2 - a^2 = a^2+b^2+2ab - a^2 =b^2+2ab.

För enkelhetens skull räknade jag bara på en cirkel. Den totala cirkelns area (rulle plus tyg) minus rullens area är

pi*(x^2-A^2/4)

där x är den sökta radien. Denna area ska motsvara arean för en tvådimensionell tråd med en viss längd och tjocklek, en kvadrat med arean B*C alltså. Sätt uttrycken lika, lös ut x och multiplicera med två för att få diametern.

Arean av en Cirkelyta är pi*D^2/4 där D är *diametern* (som här är tygrullens inkl tyg diameter)
Arean mellan två koncentriska cirklar är alltså pi/4*(D^2-d^2) (där d här är diametern på tomrullen)
Tvärsnittsytan av ett tyg med den lindade tjockleken t och längden L är L*t

Vi får alltså L*t = pi/4* (D^2-d^2) <=> sqrt (4L*t/pi + d^2) = sqrt (D^2) så:

D = sqrt (4L*t/pi + d^2) om man söker D och känner L
L = pi/4t * (D^2-d^2) om man söker L och känner D

(förutsätter många varv och konstant t)

är det radien av rullen vi är ute efter och radien av tomrullen som mäts tas 4:an bort

Fermion har rätt, men man kan förenkla och förtydliga formeln.

D = sqrt (4L*t/pi + d^2) om man söker D och känner L
L = pi/4t * (D^2-d^2) om man söker L och känner D

OBS att det bör stå pi/(4*t) eftersom man ska dividera med t. Kan bli fel om du bara knappar in.
Vi kan sätta pi = 3 och får då
L=0.75(D^2-d^2)/t .
För att få diametern kan du ju skriva D= sqrt(1.3L*t-d^2)
Hoppas det blir rätt!

Jag krånglade till det med att separera a och b i min formel.

PS : Synpunkter på min första formel?
Jag såg inte att rw använt blandat radie och diameter.
Så vi har nog löst problemet på samma sätt, alla tre! Och efter vad jag ser av era inlägg så har vi läst ungefär lika mycket matematik.