Buffons nål- gymnasiearbete

Detta är en egen "lösning", jag vet att det finns lösningar på internet men arbetet måste nog bli större om jag ska kopiera från andra. Men eftersom det är en egen lösning och jag är dålig på att förklara så kan det vara svårt att förstå. Dock så handlar det egentligen om areor av cirklar och cirkelsektorer, samt att om sannolikheten för ett fall är x så måste sannolikheten vara samma även om man introducerar flera fall av samma sort till systemet.

Jag ska göra ett gymnasiearbete där jag löser problemet med Buffons nål. Nålen ska vara lika lång som avståndet mellan de parallella linjerna. Eftersom allt är homogent tänkte jag en linje som går genom två av de parallella linjerna och är vinkelrät till dessa. Varje punkt på linjen utgör medelpunkten till en cirkel och den medelpunkten sammanfaller med mittpunkten till den tänkta nålen.

Om man sedan placerar en nål på en godtycklig punkt och roterar den bildas en cirkel, den area där nålen kommer utanför den parallella linjen skuggas och så bildas en cirkelsektor. Vidare kan man beräkna sannolikheten för nålen på just den punkten genom att att dividera den oskuggade arean med hela arean, vilket är vr^2/2pi*r^2=v/2pi där v är vinkeln på den oskuggade arean.

Om man ritar en till linje i mitten av de parallella linjerna och som också är parallell till de andra, så tror jag lösningen till det området beräknas genom snittet av v/2pi där pi<v<=2pi. Det är första problemet eftersom jag inte kan beräkna det.

Eftersom halvorna är homogena så måste lösningen vara samma för båda halvor, men problemet är när nålen precis är i mitten, dvs mittpunkten av nålen sammanfaller med punkten som är precis i mitten. Om jag räknar med sannolikheten för det så bör väl inte halvorna vara homogena längre, utan en kommer vara lite större än den andra. Ska jag räkna med att pi<v<2*pi istället för lika med 2*pi för att lösa problemet?

Ok, tittade över vad jag skrev och tittade på wiki om buffons needle.

Om man låter en nål falla och sedan roterar den ett varv, och skuggar den del när nålen inte rör en av de parallella linjerna så kommer man få en cirkel med ett kryss i. Det skulle typ bli som den andra bilden som visas på wiki.

https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle

Har jag tänkt rätt här?

Min plan för att räkna ut sannolikheten är att dividera den skuggade arean med cirkelarean.

Vi kallar vinkeln för cirkelsektorn där arean är skuggad för v. När v=0 är nålens mittpunkt på en av de parallella linjerna, det betyder att nålen alltid kommer röra en linje när den roteras. Om man flyttar nålen mot mitten av de parallella linjerna kommer v gå mot 180 grader. Om man roterar nålen i mitten kommer den aldrig röra en av linjerna.

Därför måste väl sannolikheten vara den totala skuggade arean för varje cirkel mellan en av linjerna till mitten dividerat med cirklarnas areor från en linje till mitten.

Låter denna plan korrekt för att beräkna sannolikheten?