Integralekvation

Jag är osäker på hur deriveringen av följande integraluttryck görs (observera att övre gränsvärdet är x-variabeln och nedre gränsen 0):


Skulle någon snäll själ vara vänlig och förklara i detalj hur man deriverar integralen? Det blir i alla fall inte bara kvar integral[f(t)dt] efter första deriveringen.

Du vill alltså derivera (skriver bara ut integrationsgränserna i första uttrycket...)
x
∫(x-2t)f(t)dt = ∫x f(t) dt - ∫2t f(t)dt
0
Notera att x är konstant under integreringen (det är ju t som integreras), så detta blir
x ∫f(t)dt - 2∫t f(t)dtv = x F(x) - 2 G(x)
där F(x)=∫f(t)dt och G(x)=∫t f(t)dt.
Nu kan du derivera (blir derivata av produkt i första termen)
1•F(x) + x•f(x) - 2•x•f(x) = F(x) - x f(x).
Dvs derivatan av integralen blir
x
∫f(t)dt - x f(x)
0

Tack, kom fram till samma svar slutligen, men hur kommer det sig att derivatan av G(x) bara blir integraltecknet borttaget och t:na ersatta med x? Är det alltid så när man deriverar en integral med avseende på en variabel som förekommer i integrationsgränserna?

Om x är den övre integrationsgränsen.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Analysens_fundamentalsats

Om x är den undre gränsen kan man byta plats på integrationsgränserna om man samtidigt byter tecken, dvs i DET fallet blir F'(x) = -f(x).