Finansekvation

Hej,

Har en uppgift som skall vara relativt simpel men står helt still i huvudet när det kommer till att lösa variabeln YTM i denna ekvation. Någon matte person som kan hjälpa? Tack

95 = 5 / (1 + YTM) + 5/(1 + YTM)^2+ 5 / (1 + YTM)^3 + 5/(1 + YTM) ^ 4 + 5 + 100 (1 + YTM)^ 5

Definiera en ny variabel X=1+YTM och lös för X.

Avsluta med att räkna ut YTM=X-1

Som föregående skribent påpekar är det lämpligt att införa x = 1 + YTM, men det blir ändå en femtegradsekvation som i allmänhet inte går att lösa ut för hand.

Det är dock ganska enkelt att använda exempelvis Goal Seek i Excel för att få fram ett närmevärde, alternativt Newtons metod ifall du verkligen måste räkna för hand.

Kommer inte ihåg från numeriska analysen, hur ser konvergensen ut för Newtons metod och när är den tillämplig? Kommer en lösning alltid att konvergera så länge startgissningen är tillräckligt god? Denna funktion är av klass C⁵ så det kanske inte är något problem. Tänker att problemet som kan uppstå är vid väldigt osnälla funktioner (täta oscillationer och konstiga utseenden), där derivatan av funktionen i iterationspunkterna hoppar runt och inte kan stabiliseras.

Konvergerar lösningen till ett n:te-gradspolynom alltid med Newtons metod för att derivatan är av grad n-1 och säkert kontinuerlig? När bör man se upp, finns det några tydliga varningstecken för konvergensen?

Det är tre villkor som ska uppfyllas för kvadratisk konvergens:

1. Förstaderivatan ≠ 0 i en omgivning runt roten
2. Andraderivatan kontinuerlig i samma omgivning
3. Startpunkten tillräckligt nära roten

Rent generellt för femtegradspolynom kan man ju inte veta att alla villkoren är uppfyllda, men när man har den typ av polynomekvation som används för att beräkna YTM för en obligation (som TS gör här) så har man en strängt avtagande funktion. Alla koefficienterna (kassaflödena) är positiva och ju högre YTM desto lägre nuvärde. Första villkoret är alltså uppfyllt. Andraderivatan är kontinuerlig eftersom den liksom den ursprungliga funktionen är ett polynom. Undantaget är specifikt för YTM = -100% då man får division med noll, men det är ett degenererat fall som motsvarar att obligationen skulle vara värdelös.

Jag har tidigare utgått från att Goal Seek använder Newtons metod, men enligt den här artikeln så verkar det som att den i själva verket använder ren linjär sökning.

Ska inte sista termen vara 100/(1+YTM)^5? Ser vettigare ut då finansiellt för en obligation, med 95 = nuvärde, YTM = yield to maturity, 5 = årliga utbetalningar och 100 = nominellt värde som utbetalas på förfallodagen efter 5 år..

http://www.investopedia.com/terms/y/yieldtomaturity.asp

Iaf, om YTM<<1 kan man få en bra approximativ lösning om man bara utvecklar alla termer upp t o m första ordningen. Dvs använd att
(1+YTM)^n≈1+n•YTM.

Räknar man på den korrigerade formeln får man
95 ≈ 5•(1-YTM + 1-2YTM + 1-3YTM + 1-4YTM) + 100•(1-5•YTM)
= 120 - 510 YTM
YTM ≈ 25/510 ≈ 0.049

Utveckla upp t o m YTM^2 för lite mer exakt svar.

WolframAlpha ger YTM=1/19≈0.053

http://www.wolframalpha.com/input/?i...1+%2B+x%29%5E5

Skall sista termen i högerledet vara: 100 (1 + YTM)^5
(eller menar du: 100/(1 + YTM)^5) ?

Akterseglad av nerdnerd.

Ja ursäkta sista termen är 100/(1 + YTM)^5)

Stryker även näst sista termen (5:an). Alltså,

95 = 5/(1 + YTM) + 5/(1 + YTM)^2+ 5/(1 + YTM)^3 + 5/(1 + YTM)^4 + 100/(1 + YTM)^5.

Dividera ekvationen med 5 och sätt x = 1 + YTM:

19 = 1/x + 1/x^2+ 1/x^3 + 1/x^4 + 20/x^5

Multiplicera med x^5 och splittra sista termen:

19x^5 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 + 19,

19(x^5 - 1) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = {geometrisk summa} = (x^5 - 1)/(x - 1),

Faktorisera: (x^5 - 1)(19 - 1/(x-1)) = 0

Faktorn 19 - 1/(x-1) = 0 ger, med x - 1 = YTM,

YTM = 1/19.