Flervariabelanalys - Optimeringsproblem

Efter en månads så kallat sommarferien så var det dags att börja kötta matte igen.

Jag har ställt upp V(x, y, z,) = xyz, där 0 < x < a, 0 < y < b och 0 < z < c. (Notera att V ger den åttondedelen av rätblocket som ligger i första oktanten). Nu löser vi ut z ur den första ekvationen och eliminerar ur den andra:

V(x, y) = cxy√(1 - x²/a² - y²/b²).

Därefter tar vi fram de första partiella derivatorna med avseende på x respektive y. Jag får dock ett ekvationssystem som ser hopplöst ut. Gör jag något tokigt?

Det finns väl lite trix man kan använda sig av, men jag antar att detta är en övning i Langrange multiplikatorer. Så då löser du inte ut z så där, utan du låter

f(x, y, z; λ) = xyz - λ(x²/a² + y²/b² + z²/c² - 1)

Sedan löser du ∇f = 0.

Intressant, men nej det är det faktiskt inte! Nästa avsnitt handlar om Lagrange

Okej, ja då får man gå vägen du försökte (om ni inte gått igenom någon lämplig olikhet som GM-QM), men för att underlätta det hela så kan man använda sig av cylindriska koordinater.

Låt
x = racos(θ),
y = rbsin(θ)

Så man får att

V(r, θ) = r²abc·cos(θ)sin(θ)√(1 - r²)

Sen är det bara att försöka optimera detta där 0 ≤ r ≤ 1.

Smart, tack!