Uppgift från senaste matematikolympiaden - tangerar det omöjliga

Jägaren vet vilken riktning kaninen är i i värsta fall typ 90graders intervall, kanske lite mindre? En boll med radie ett på 100 meters avstånd har ju mycket snävare intervall så då borde det vara enklare att följa tänker jag mig? Förutom allra först, då är väl all bets off. Kanske radien bör vara 2...

Om jägaren hela tiden får en punkt som är högst 1 meter ifrån haren så är det väl bara för jägaren att hela tiden gå till den punkten?
Jägaren kommer på så sätt aldrig länge ifrån haren än 2 meter.

Testa läs uppgiften igen, jägaren kan inte gå till vilken punkt som helst.

Man kan ju starta på 100 stegs avstånd och se om man kan ta 1000000000 steg på samma avstånd utan att avlägsna sig mer än 100 steg. Kan man inte det så kommer man inte heller att lyckas när man är närmare.
låt x vara avståndet till haren, d osäkerheten i läge och s antal steg. Låt dx/ds vara max förändring av avståndet per steg (d = 1)
Lite geometri ger att dx/ds <= d^2/2x^2 (lite förenklat) dvs dx/ds =1/20000 om avståndet x = 100

för att komma till avståndet x så har det ju varit kortare tidigare om man alltid siktat mot det skenbara målet. alltså har dx/ds alltid varit större i de tidigare stegen. Om man kunde ta 1000000000 steg vid ett avstånd x kortare eller lika med 100 så kan man vara säker på att man max ökat avståndet med 10^9/20000 = 50000.

Man kan alltså *inte* vara säker på att vara inom 100 steg från haren efter 10^9 steg med strategien att sikta på det skenbara målet.

Statistiskt så är det ju i princip omöjligt att hela tiden få maxfel, och problemet kan lösas genom deifferentialkalkyl antagligen.

Vad gäller det förväntade avståndet efter s steg med kvadratiska medelavvikelsen D^2 (i st för 1)

dx/ds = D^2/2x^2 löses int(x^2)dx från 0 till X = int(D^2/2)ds från 0 till S; där X är läget efter S steg

ger X(S) = (3D^2/2 * S)^(1/3) ( förväntnings värdet för D^2 = 1/2 maxvärde 1 ) så

Xexp(10^9) = 901 steg och Xmax(10^9) = 1145 steg

för att vara säker på att vara max 100 steg bort har vi att S(100) = 2/3*100^3 = 2/3 miljon steg

(lite reservation för att vissa approximationer inte gäller för de första stegen möjligen
och naturligtvis för att det finns en smartare strategi för jägaren än att gå mot den punkt där haren tycks vara)