Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

Uppgift från senaste matematikolympiaden - tangerar det omöjliga

Svara
  • 1
  • 2
2017-07-23, 05:17
  #1
Torsus
Medlem
Torsuss avatar
Uppgiften:

Citat:
Problem 3. En jägare och en osynlig hare spelar ett spel i det euklidiska planet. Antag att harens
startpunkt, A0, sammanfaller med jägarens startpunkt, B0.
Efter n - 1 omgångar av spelet finns haren i punkten An-1, medan jägaren är i punkten Bn-1. I
n:te omgången av spelet, inträffar tre saker i följande ordning:
(i) Haren rör sig osynligt till en punkt An sådan att avståndet mellan An-1 och An är exakt 1.
(ii) En spårningsapparat rapporterar en punkt Pn till jägaren. Det enda jägaren kan vara säker på
är att avståndet mellan Pn och An är som mest 1.
(iii) Jägaren rör sig (helt synligt) till en punkt Bn sådan att avståndet mellan Bn-1 och Bn är exakt
1.
Är det alltid möjligt för jägaren att, oavsett hur haren rör sig och oavsett rapporterna från spårningsapparaten,
välja sina rörelser på ett sådant sätt att han efter 10 upphöjt till 9 omgångar kan vara säker på
att avståndet mellan honom och haren är som mest 100?

Det är naturligtvis en hel del geometri inblandat här...men jag får inte till det. Har ni idéer?
Citera
2017-07-23, 05:51
  #2
snall
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av Torsus
Uppgiften:



Det är naturligtvis en hel del geometri inblandat här...men jag får inte till det. Har ni idéer?
Är det inte självklart att jägaren fixar det utan problem?
Vad skulle hindra honom?
Citera
2017-07-23, 07:30
  #3
Carma
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av snall
Är det inte självklart att jägaren fixar det utan problem?
Vad skulle hindra honom?

Nej. Det som kan hindra honom är om haren är snabbare än honom. Stå ingen om deras hastighet.
Citera
2017-07-23, 07:37
  #4
snall
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av Carma
Nej. Det som kan hindra honom är om haren är snabbare än honom. Stå ingen om deras hastighet.
Hastigheten är uppenbarligen ingen faktor eftersom jägaren tydligen kan "teleportera" sig.
Men jag såg nu att jag läste fel på Pn och Bn så nu fattar jag inte hur den ska vara möjlig att lösa.
__________________
Senast redigerad av snall 2017-07-23 kl. 07:40.
Citera
2017-07-23, 07:40
  #5
MoaLjung
Medlem
MoaLjungs avatar
Vad händer om haren rör sig uppåt? Typ blir tagen av en rovfågel eller nåt.
Citera
2017-07-23, 07:43
  #6
snall
Avstängd
Nu fattar jag äntligen.
Haren och jägaren rör sig hela tiden högst en längdenhet åt gången.
Nu måste jag fundera lite....men är det inte självklart att jägaren aldrig kommer längre ifrån haren än 2 längdenheter nu?
Citera
2017-07-23, 08:57
  #7
nihilverum
Medlem
nihilverums avatar
Citat:
Ursprungligen postat av snall
Nu fattar jag äntligen.
Haren och jägaren rör sig hela tiden högst en längdenhet åt gången.
Nu måste jag fundera lite....men är det inte självklart att jägaren aldrig kommer längre ifrån haren än 2 längdenheter nu?

Nej, båda rör sig exakt en längdenhet i varje steg. Det är spårningsapparatens angivna position för haren som är högst en längdenhet från harens verkliga position i varje steg. Man kan alltså illustrera hur spårningsapparatens angivna position kan förhålla sig till harens verkliga position genom att rita en fylld cirkel med radie 1 runt den verkliga positionen.

Om haren rör sig längs en rät linje så kan alltså spårningsapparaten i princip rapportera rörelse som går i sicksack (exempelvis ömsom över och ömsom under den verkliga positionen). Om jägaren bara blint försöker följa den angivna positionen så kommer jägaren att hamna mer och mer efter haren för varje steg.

Det går dock att utläsa information ifall den angivna positionen förflyttar sig mer än en längdenhet i ett steg, eftersom man då vet att den angivna positionen var fel i en riktning innan och fel i en annan riktning efter.

I extremfallet skulle den angivna positionen kunna förflyttas exakt tre längdenheter i en viss riktning, om positionen var en längdenhet fel i en riktning i steg n-1 och sedan en längdenhet fel i rakt motsatt riktning i steg n. I detta fall kan jägaren bestämma harens exakta position både i steg n-1 och steg n.
Citera
2017-07-23, 09:09
  #8
snall
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av nihilverum
Nej, båda rör sig exakt en längdenhet i varje steg. Det är spårningsapparatens angivna position för haren som är högst en längdenhet från harens verkliga position i varje steg. Man kan alltså illustrera hur spårningsapparatens angivna position kan förhålla sig till harens verkliga position genom att rita en fylld cirkel med radie 1 runt den verkliga positionen.

Om haren rör sig längs en rät linje så kan alltså spårningsapparaten i princip rapportera rörelse som går i sicksack (exempelvis ömsom över och ömsom under den verkliga positionen). Om jägaren bara blint försöker följa den angivna positionen så kommer jägaren att hamna mer och mer efter haren för varje steg.

Det går dock att utläsa information ifall den angivna positionen förflyttar sig mer än en längdenhet i ett steg, eftersom man då vet att den angivna positionen var fel i en riktning innan och fel i en annan riktning efter.

I extremfallet skulle den angivna positionen kunna förflyttas exakt tre längdenheter i en viss riktning, om positionen var en längdenhet fel i en riktning i steg n-1 och sedan en längdenhet fel i rakt motsatt riktning i steg n. I detta fall kan jägaren bestämma harens exakta position både i steg n-1 och steg n.
Ja, max 3 längdenheter ska det givetvis vara.
Citera
2017-07-23, 09:40
  #9
priamos2014
Medlem
En vanlig differentialekvation. Ju längre bort haren kommer ju mindre missar jägaren vid varje ny förflyttning.
En exponentiell graf.
Nu fixar du det.
__________________
Senast redigerad av priamos2014 2017-07-23 kl. 09:49.
Citera
2017-07-23, 11:31
  #10
snall
Avstängd
Vad är det jag inte förstår med uppgiften?
Är det inte självklart att jägaren bara går till Pn varje gång?
Citera
2017-07-23, 12:00
  #11
priamos2014
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av snall
Vad är det jag inte förstår med uppgiften?
Är det inte självklart att jägaren bara går till Pn varje gång?

Om pn hela tiden är en meter till vänster, så kommer jägaren att tappa avstånd till haren.
(Förutsatt haren försöker ta sig så långt bort från jägaren hela tiden)
Ju längre bort haren kommer från jägaren, ju mindre blir vinkeln på en meters diskrepans, dvs ju längre bort haren kommer, ju mindre tappar jägaren för varje iteration.
En exponential, som visat som graf flackar ut med antalet iterationer. Se åter provfrågan.

Vad är matte-olympiaden?
Högstadie, eller gymnasie?
Får man använda en programmerbar miniräknare, så torde ju en hyfsat duktig åttondeklassare kunna lösa uppgiften.
Citera
2017-07-23, 12:07
  #12
snall
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av priamos2014
Om pn hela tiden är en meter till vänster, så kommer jägaren att tappa avstånd till haren.
(Förutsatt haren försöker ta sig så långt bort från jägaren hela tiden)
Ju längre bort haren kommer från jägaren, ju mindre blir vinkeln på en meters diskrepans, dvs ju längre bort haren kommer, ju mindre tappar jägaren för varje iteration.
En exponential, som visat som graf flackar ut med antalet iterationer. Se åter provfrågan.

Vad är matte-olympiaden?
Högstadie, eller gymnasie?
Får man använda en programmerbar miniräknare, så torde ju en hyfsat duktig åttondeklassare kunna lösa uppgiften.
Hur kan jägaren tappa mer än max 2 meter i ditt exempel?
Citera
Svara
  • 1
  • 2

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback