En enkel Lagrange-uppgift som inte löser sig...

Ska hitta minsta/största värde för x^3 + y^2 på cirkeln x^2 + y^2 = 1.
Vad gör jag galet?

Uppställningen:

(1) 3x^2 = λ2x
(2) 2y =λ2y
(3) x^2 + y^2 = 1

Försök att isolera variabler:

(2) 2y =λ2y --> 1 = λ

(1) 3x^2 = λ2x --> 3x^2 = 2x --> 3x = 2 --> x = 2/3 (denna är fel tydligen, varför?)

alternativt

(1) 3x^2 = λ2x --> x(3x-2) = 0 --> x = 0, 2/3, men stoppar man in 0 där ovan blir ju 0=2 :/

Sen blir y nåt baserat på x och λ men svaret blir fel ändå.

Svaret ska vara:
"Max = 1 i till exempel (1,0) och min = -1 i (-1,0)"

Vad i den här jävla soppan gör jag galet? Får fan alltid fel på Lagrange-ekvationer.

Oftast när jag gör obegripliga fel så handlar det om att jag gjort ett så enkelt fel som fel teckenbyte.

Ok, men det kan inte vara fallet här.

Problemet är att du dividerar med 0 i första steget i de fall där y=0. y=0 ger x=+/-1 enligt 3 vilket sedan ger dig de andra lösningarna (1,0) och (-1,0).

Första steget som i det här steget?

2y =λ2y

Kan ju hålla med om att y = 0 också. Att dela med 2y på båda sidor går därför inte. Är det det du menar?

Används inte ekvation (1) alls här eller vad är det frågan om?

Vill bara visa att du inte måste Lagrange:a. Här är en alternativ lösning som du får genom att parametrisera cirkeln, sätta in denna i f(x,y)=x^3 + y^2 och söka kritiska punkter.

Parametrisera cirkeln med cylindriska koordinater (notera r=1 konstant):
x=cos(v) (*)
y=sin(v) (**)
v:0-->2pi
Skriv r(v)=(x(v),y(v))=(cos(v),sin(v))

Det ger:
f(r)=cos³(v)+sin²(v)

Sök kritiska punkter, grad(f)=0
grad(f(r)) = ((df/dx)(dx/dv), (df/dy)(dy/dv)) = (0,0)
grad(f(r)) = (-3cos²(v)sin(v), 2sin(v)cos(v)) = (0,0)

Vi ser att komponenterna noll då antingen cos(v)=0 eller sin(v)=0, det ger v=n*pi/2, för n heltal. I termer av x och y får vi de kritiska punkterna genom insättning av v=n*pi/2 i (*) resp. (**):
(x,y) = (0,+-1), (+-1,0)

Genom insättning av dessa i f(x,y) ser vi enkelt för vilka punkter f antar max/min.

Precis, så när du löser ut λ=1 och går vidare bortser du från alla fall då y=0. Från (2) får du två alternativ; λ=1 och y=0. λ=1 i (1) ger i sin tur x=2/3 men även här finns möjligheten att x=0.

Kandidaterna är alltså att y=0, x=0 eller x=2/3. Från dessa kan du lösa ut motsvarande obekant genom (3) och sedan stoppa in i den ursprungliga funktionen för att se var du finner min/max.

2y =λ2y har som sagt två lösningar: y=0 eller λ=1 (båda samtidigt är förstås också möjligt).
Båda lösningarna måste undersökas.

Fick mig att tänka på det här klassiska "beviset":

a = b
a^2 = ab
a^2 - b^2 = ab-b^2
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a+b = b
b+b = b
2b = b
2 = 1

Tror jag begriper nu, tack ska du ha!

(a-b) = 0, så man delar med 0 med andra ord?

Precis!