Sannolikheter

Hej!
Sitter med övningsuppgifter i statistik och har kört fast på vissa saker, hoppas verkligen någon kan ge lite tips!
1. En uppsättning bestående av 20 komponenter ska säljas, varav 4 kontrolleras (utan återläggning) och om alla fyra går är hela går köpet igenom.
Vi vet inte sannolikheten att en del är trasig.
En uppsättning kallas "bra" om max 2 är trasiga och "dålig" om minst 4 är dåliga. Hur stor är sannolikheten för säljaren att en "bra" uppsättning inte blir såld respektive för köparen att köpa en "dålig" uppsättning. Jag har tänkt såhär:
P(säljaren) = ((1 över 1)*(19 över 3) + (2 över 1)*(19 över 3) + (2 över 2)*(18 över 2) )/(20 över 4)
Detta blir 0,675 vilket känns som en alldeles för hög sannolikhet?

Din uppställning stämmer, men du har räknat fel en aning någonstans. Det ska bli cirka 0,6316 och inte 0,675. Specifikt får man (969 + 969*2 + 153)/4845 = 3060/4845 = 12/19 ≈ 0,6316.

Det skulle gå att få ett annat resultat ifall det fanns angivet specifika sannolikheter för att det ska finnas trasiga enheter i uppsättningen, men som uppgiften är skriven så är det enligt ovan man får räkna.

Tack!
Men när jag försöker göra en motsvarande uträkning för säljaren blir det krångligare. Jag tänker att P(köpa ett dåligt parti)=1-P(köpa parti med färre än 4 trasiga komponenter). Dvs man kan ha 1, 2 eller 3 trasiga men får inte välja dra någon av dessa. Då trodde jag man kunde addera P(1)+P(2)+P(3), men då får jag 1,9 eller nåt sånt. (med P(1)=(1 över 0)*(19 över 4)/(20 över 4).

Vid närmare eftertanke insåg jag att det fanns ett fel i den första lösningen. Det totala antalet möjliga utfall i nämnaren måste ta hänsyn till de olika möjligheterna för antalet trasiga element. Således blir det inte bara C(20,4) i nämnaren utan 3*C(20,4) = 3*4845 = 14535 i nämnaren (det är C(20,4) möjligheter för vart och ett av fallen 0 trasiga, 1 trasig och 2 trasiga). Svaret blir då istället 4/19 ≈ 0,21.

På den här andra uppgiften får man på motsvarande sätt 17*C(20,4) i nämnaren (en C(20,4) för vart och ett av fallen 4 trasiga, 5 trasiga och så vidare upp till 20 trasiga). Sättet du försöker räkna komplement på fungerar dock inte, eftersom sannolikheten att köpa då minst fyra är trasiga inte är 1 minus sannolikheten att köpa då max tre är trasiga. Istället är sannolikheten lika med 1 minus sannolikheten att inte köpa då minst fyra är trasiga. Den är dock snarast besvärligare att räkna ut än den sökta sannolikheten direkt.

Det man istället kan utnyttja är det som kallas för "hockey stick pattern" på den här sidan, vilket ger att summan av C(4,4) + C(5,4) + ... + C(16,4) = C(4,0) + C(5,1) + ... + C(16,12) = C(17,12) = 6188. Sannolikheten blir alltså 6188/(17*4845) = 364/4845 ≈ 0,075.

Innebär detta att den totala sannolikheten P(<=2) inte är P(1)+P(2)? Eller min fråga är väl egentligen, hur kommer den där 3an till nämnaren rent matematiskt? Ser ju att siffrorna blir rimligare, men sannolikheter brukar ju läggas ihop genom att antingen multiplicera eller addera, och i inget fall borde det bli en tre gånger större nämnare?

Nu är jag inne på detaljer men har du någon tanke om hur man skulle redovisa detta snyggt rent matematiskt? Vad skulle utfallsrummet omega bestå av tex? omega = {{a1,...,a4}|ai element i {1,...,20}}? Tycker notationen är superkrånglig.

För att räkna på sannolikheten att inte sälja en "bra" uppsättning i de enskilda fallen (0, 1 respektive 2 trasiga element) förutsätts implicit att man har vetskap om antalet trasiga element. När man inte har den vetskapen och ska räkna på sannolikheten för de tre fallen kombinerat enligt metoden "antal gynnsamma utfall/totalt antal utfall" så måste "totalt antal utfall" ta hänsyn till att det är separata möjligheter att välja 4 av 20 i de olika fallen för antalet trasiga element.

Jag är inte helt säker på vilka krav som ställs på formalism i hur svaret ska formuleras (inte heller minns jag särskilt bra hur man skriver detta helt formellt korrekt), så det föreslår jag att du diskuterar med föreläsare eller kurskamrater.