Svängningsrörelse (Mekanik)

Uppgiftstext

En vikt med massan m är upphängd med hjälp av en lätt fjäder med fjäderkonstanten k och två lätta trissor enligt figuren. Bestäm perioden τ för de vertikala svängningarna kring jämviktsläget.

Bild

Frågeställning

Jag tänker mig att vi har två spännkrafter uppåt från den nedersta trissan, sedan har vi ytterligare två spännkrafter från den övre trissan. Den lätta fjädern drar upp med kraften F = kx och vikten drar ner med F =mg.

Sedan tänker jag mig att när fjädern dras ut längden x så faller den övre trissan ner x/2, vilket i sin tur får den nedre trissan att falla ner (x/2)/2 = x/4.

Kraftekvationen ger oss

(Nedåt) mx" = mg -(k/4)x + 4a

=> x" + (k/4m)x = ...

Jag vet inte hur jag ska använda mig av informationen att repet faller ner en fjärdedels x när fjädern dras ut x?

Är spännkrafterna rätt?

Lyckades lösa den med lite hjälp från en liknande uppgift. Spännkrafterna som jag satt ut var fel: I vikten drar två spännkrafter uppåt medan tyngdkraften drar neråt. På den övre trissan drar två halva spännkrafter uppåt (eftersom enbart en drar neråt). Vi kan göra såhär eftersom vi bortser från trissans vikt (det är en lätt trissa). Vi får att kraften i fjädern blir en halv spännkraft (detta är ett viktigt samband).

Om vi inför en x-axel som mäter fjäderns förlängning och inför en y-axel som mäter viktens förskjutning får vi att

x'' = 4y'' (tidsderivator). Vi erhåller det här sambandet genom att inse att när fjädern förlängs längden Δl så förskjuts vikten längden (Δl)/4 (rita figur!).

Vi ställer upp kraftekvationen i y-led och får

(Nedåt) my'' = mg - 2S, där S är spännkraften, => Sätt in våra samband =>

(m/4)x'' = mg - 2(2kx) => x'' +(16k/m)x = 4g, där vinkelfrekvensen är ω =sqrt(16k/m) = 4 sqrt(k/m).

Perioden blir: τ = 2π/ω = (π/2)sqrt(k/m).