Centralrörelse (lite svårare)

Uppgiftstext

En rymdfärja kretsar kring jorden i en cirkulär bana med radien r₁. Bestäm den minsta fartökningen Δv som gör det möjligt för färjan att nå punkten B på avståndet r₂ från jordens centrum. I vilken punkt A på den cirkulära banan skall denna fartökning ges?


Frågeställning

Hur ska jag bestämma vilken punkt som fordrar minst fartökning? Bara det har jag svårt att förstå. Jag tänker mig sedan att rymdfärjan övergår i en ny bana runt jorden som tangerar B, men är det nödvändigt?

Bild på uppgift

Som jag förstår det kommer rymdfärjan hamna i en elliptisk bana runt jorden. Med denna insikt behövs inte mycket hjärnkraft för att förstå att A behöver ligga där linjen BO tangerar cirkelbanan på andra sidan jordklotet. Vi kommer då få att apogeum ligger i B. Motiveringen till varför detta kräver minst fartändring är för att banan förlängs snabbast i den riktningen för ändring av farten i A.

Välj – som det står i svaret – A som skärningspunkten mellan BO:s förlängning och den cirkulära banan.

En väl anpassad fartökning ger en elliptisk bana med perigeum i A och apogeum i B. Med ett annat läge för A hamnar perigeum längre ut vilket kräver en större fartökning.

Edit: ser att du har kommit fram samma slutsats.

Menar du att apogeum och perigeum ska vara på samma sida om jordklotet?

”I BO:s förlängning”: B------r₂------O---r₁---A
– så att |AB| = r₁ + r₂ = 2a (= ellipsens storaxel).

Jordcentrum måste ligga i närmsta ellipsfokus om B ligger utanför cirkelbanan.

Använd energilagen på formen:

mv²/2 - mgR²/r = mgR²/2a, där 2a = r₁ + r₂ (=storaxeln),

för att bestämma rymdfärjans fart v = v₁ i A.