Svängningsmekanik (svår uppgift)

Uppgiftstext

En metod för att bestämma en vätskas viskositet μ består av att man uppmäter svängningstiderna för en liten sfärisk kula med massan m och radien r som är upphängd i en lätt fjäder med fjäderkonstanten k. Om τ_n är svängningstiden för odämpad svängning i luften och τ_d för svagt dämpad svängning i vätskan, bestäm uttrycket för vätskans viskositet μ uttryckt i τ_n, τ_d, m och r. Motståndskraften på kulan i vätskan är F_D = 6πrµv, där v är beloppet av kulan hastighet. Bortse från tyngdkraften i vätskan och luftmotståndet.

Figur

Min lösning

Jag har utan svårighet bestämt vinkelfrekvensen för anordningen som hänger i luft. Vi har

(Neråt): mx" =mg -k(x - l) <=>

x" + (k/m)x = g + kl/m, där l är fjäderns längd ospänd.

Vi inför vinkelfrekvensen ω_n^2 = k/m.

Är det här rätt så långt?

Jag tänker mig sedan att man inte behöver bestämma hela svängningsekvationen för kulan i vätskan, eller behöver jag det?

För kulan i vätskan råder svagt dämpad svängning. Vi har

(Neråt): mx" = mg -k(x - l) -6πrµvx' <=>

x" + (6πrµv/m)x' + (k/m)x = g + kl/m .

Vi inför att

2ζω_n = 6πrµv/m, och

ω_n^2 = k/m, där ζ är dämpningsfaktor.

Behöver jag alltså nu bestämma sväningsekvationen för partikeln i vätskan?

Annars tänker jag mig att vinkelfrekvensen för denna är

ω_d = ω_n*sqrt(1 - ζ^2). Sedan innan har vi att

2ζω_n = 6πrµv/m.

Borde vi inte kunna lösa uppgiften med hjälpa av det här? Eller behöver vi ta hjälp av logaritmiska dekrementet, dvs

δ = ln(x_1/x_2) ?

Varför fungerar det inte?

τ_d = 2π/ω_d <=> ω_d = 2π/τ_d.

=> ω_d = ω_nsqrt(1 - ζ^2) = 2π/τ_d.

Vi har även att ω_n = 2π/τ_n.

Om jag sätter in den senaste ekvationen i den förra får jag ett snömos av symboler, men ζ blir kvar innanför rottecknet. Därmed får jag inte bort fjäderkonstanten. Vad gör jag för fel?

Jag lyckades lösa den. All information man behöver står under rubriken Varför fungerar det inte?.

Se länken

Tips