Svängningsmekanik (lätt uppgift)

Uppgiftstexten

Betrakta två fall enligt figuren där fjädrarna med fjäderkonstanterna k_1 och k_2 fästs parallellt respektive seriellt vid en cylinder med massan m. Ersätts fjädrarna i vardera fallet med en enda fjäder med fjäderkonstanten k. Bestäm k så att perioden τ för cylinderns svängningar blir densamma som perioden med två fjädrar.

Kortfattat

Hur bestämmer jag svängningsekvationen då två fjädrar är seriekopplade? Jag har suttit ett tag och försökt med olika infallsvinklar. Jag satte upp ett ekvationssystem men det leder ingenstans:

(Vid jämvikt)

mg = k_1y_1

mg = k_2y_2 .

Figur

Bestäm resulterande fjäderkonstant i de två fallen genom att betrakta krafter och förlängningar. Sedan kan du använda resulterande fjäderkonstant för att ställa upp rörelseekvationen.

Om jag betraktar krafter och förlängningar, menar du då mitt ekvationssystem ovan? Skulle du kunna förklara lite mer?

I första fallet har vi att rörelseekvationen är

my'' = mg - k1*y -k2*y, vilket ger oss vinkelfrekvensen så att vi kan beräkna perioden. Resten är enkelt.

I fall två ser jag däremot inget enkelt fysikaliskt samband som vi kan ställa upp. Det enda jag har är att fjädrarna utsätts för en förlängning som om de vore ensamt kopplade till vikten. Hur använder jag den här informationen?

Seriekoppling
Om du drar med kraften F kommer båda fjädrarna att utsättas för samma kraft men kan ha olika förlängning. Fjäder 1 kommer att förlängas med ΔL1 = F/k1 och fjäder 2 med ΔL2 = F/k2. Totala förlängningen blir ΔL = ΔL1 + ΔL2 = F/k1 + F/k2, så den kombinerade fjäderkonstanten blir
k = F/ΔL = F/(F/k1+F/k2) = 1/(1/k1+1/k2) = (k1 k2)/(k1+k2).

Parallellkoppling
Om du drar med kraften F kommer båda fjädrarna att förlängas lika mycket men kan ha olika kraft. Fjäder 1 kommer att ha kraften F1 = k1 ΔL och fjäder 2 kraften F2 = k2 ΔL. Totala kraften blir F = F1 + F2 = k1 ΔL + k2 ΔL = (k1+k2) ΔL, så den kombinerade fjäderkonstanten blir
k = F/ΔL = ((k1+k2)ΔL)/ΔL = k1+k2.

Nu kan du sätta upp rörelseekvationen mx'' = -kx i de två fallen.

Tack! Det fetade var väldigt bra. Jag satte F till mg, kanske var därför allt blev så rörigt.