Finns det en långsammast konvergerande serie?

Är iaf inte mer fel än det (ö-) kända resultatet
1+2+3+4+... = -1/12
att skriva
1²+2²+3²+4²+... = 0.

Båda resultaten kan motiveras (iaf i någon mening) från Riemanns zetafunktion. Det förra hänger ihop med ζ(-1) och det senare med ζ(-2)...

https://sv.wikipedia.org/wiki/Riemanns_zetafunktion

Tack, fast serien konvergerar inte.
a(0) = 1
a(1) = -a(0)/2 = -1/2
a(2) = -(a(0)+a(1))/2 =-(1 - (1/2))/2 = -1/4
a(3) = -(a(0)+a(1)+a(2))/2 = -(1 - 1/2 - 1/4)/2 = -1/8
...
Vi kan alltså skriva serien
sum_{n=0}^{infty} a_n = 1 - (1/2) sum_{n=1}^{infty} 1/n
där sum_{n=1}^{infty} 1/n divergerar (harmoniska serien).


Om vi antar att man inte får utvidga funktioner utanför deras definitionsmängd då?

Ähmm... Det var massor av år sedan jag läste matte och ibland minns jag fel.

Varför anser man att serien inte konvergerar? Varje tal är hälften så stort som föregående och därför snabbt avtagande. Den oändliga serien får väl värdet 0? Krävs det något mer för konvergens?

Tyvärr, ja. Som i förstainlägget: Du har rätt i att a(k) går mot noll när k går mot oändligheten, så den avtar, men inte tillräckligt snabbt för att summan ska konvergera. En serie (oändlig summa) sum{n=1}^{infty}n^{-p} konvergerar för p>1 och divergerar för p mindre än eller lika med 1. Du kan säkert googla dig till multum av information om konvergens i olika fall.

Du kan testa konvergens mha exempelvis rottest, kvottest, integraltest.

Fast du misstar dig när du säger att serien är den harmoniska, serien kan skriva som

1 - Σ_{n = 1, ∞} 1/2^n

vilket är en serie som konvergerar mot noll. Man kan ju i princip göra samma konstruktion med vilken konvergerande serie som helst, säg att Σ a_n = A, där A är ändlig, då är A - Σ a_n en serie som konvergerar mot noll.

Yup, det var jag som läste mönstret fel. Hade jag lätt kunat inse exempelvis genom att se till specialfallet n=3: -1/2{1/n}= -1/6, men a(3) = -1/8.

Jag tar tillbaka det jag sa om ditt a(k) WbZV, lyssna på innesko istället