Rörelsemängdsmoment - medelsvår uppgift

Uppgiftstexten

En partikel med massan m är fäst i en tråd som löper genom ett hål i bordet. Avståndet från partikeln till hålet är från början l då partikeln ges hastigheten v_0 och beskriver en cirkelbana med radien l på den glatta horisontella bordsytan. Avståndet från partikeln till hålet minskas sedan långsamt till l/3 så att partikeln beskriver en ny cirkelbana. Bestäm spännkrafterna S_0 och S_1 som krävs för att hålla partikeln i de två cirkelbanorna sant det arbete U_0-1 som måste uträttas för att flytta partikeln till den nya cirkelbanan.

Kortfattat

Vi ska alltså bestämma de två spännkrafterna för de två olika fallen i nedanstående figur.

Figur

Jag lyckades lösa den första spännkraften S_0 genom att dels bestämma hastigheten som är θ'l (i transversalriktningen). Vi har även att hastigheten är v_0, alltså är θ' = v_0/l .

Vidare vet vi att spännkraften är kraften i den radiella riktningen, alltså

S = lmθ'^2 = mv_0^2/l .

Jag försöker med samma metod fast för den lilla cirkeln, men det verkar som om farten för kulan förändrats(?), eftersom mitt svar blivit fel. Jag utgår från att farten är densamma i bägge fallen, är det rätt? På vilket sätt påverkas farten?

Vinkelhastigheten ändras givetvis, vilket jag räknat med genom att använda v_0 i båda fallen. Detta går alltså inte?

Partikelns rörelsemängdsmoment kring hålet bevaras när partikeln flyttas till den inre cirkelbanan. Är du med på det?

Nej verkligen inte! Började fundera på om det kunde vara något sådant. Men hur "vet du" det? Har det något med att kulan förflyttas sakta, som det står i uppgiften?

Kraftmomentet M (från trådkraften S) = 0, så L = r*mv = konstant.

Ah, coolt. Eftersom allt rör på sig känns det som att det finns en kraft som verkar på kulan, men det kanske är lite väl Aristoteliskt resonerat.

Jag använde mig av ditt råd men får det ändå inte riktigt att fungerar, så här gjorde jag:

Vi har att (Före): L = r*mv. Vi inför cylinderkoordinater och erhåller

r = le_r och

v = v_0e_θ.

Alltså, L = r*mv = le_r * mv_0e_θ = lmv_0e_z .

Vi har ju att vinkelhastigheten ges av l*θ' = v_0 <=> θ' = v_0/l . Detta behövs för att beräkna spännkraften.

Okej, så nu kan vi beräkna spännkraften i repet med hjälp av kraftekvationen i radiell riktning. Jag tänker inte gå igenom den, men vi får att S_0 = m v_0^2/l .

Nu fortsätter vi med att rörelsemängdsmomentet bevaras. Den lilla cirkelbanan har radien l/3. Momentekvation ger:

(Efter): L = r*mv = m(l/3)^2 θ' e_z . (Obs att θ' är inte densamma som innan).

Vi sätter ihop (Före) och (Efter) ekvationerna och får

lmv_0e_z = m(l/3)^2 θ' e_z <=>

θ' = 9v_0/l.

Spännkraften borde således bli mha kraftekvation i radiell riktning:

S_1 = m(l/3) θ'^2 = 27m v_0^2/l

.....

Ser nu att jag räknade fel. Tack för hjälpen, det löste sig visst

Använd kryssprodukt-tecken ’×’ för att undvika missförstånd.

Sedan, innan vi avslutar: varför är det lämpligt att partikelns avstånd till hålet minskas långsamt?

Min mobil har inte det tecknet tyvärr!

Jag skulle gissa på värmeutveckling i repet? En alltför snabb (stor) acceleration inåt skulle få partikeln att enbart röra sig sidleds (mot centrum) och därmed skulle sluta röra sig i en cirkelbana.

Det är min gissning!

Då partikeln flyttas långsamt kommer den att röra sig i approximativa cirkelbanor när linan dras mot hålet. Partikelns hastighet v blir därmed approximativt vinkelrät lägesvektorn r. Alltså,

L = r × mv = mrv e_z

(onödig omväg att införa vinkelhastigheten θ').

Approximativa cirkelbanor innebär också att uttrycket för linkraften, S = mv²/r, gäller med god noggrannhet.

I så fall hade jag delvis rätt