differentialekvation med beygnnelsevillkor

Jag försöker lösa en differentialekvation, som kommer från en gammal tenta i analys:

xy'-4y=3x, y(1)=0

Men jag har inte fått veta något om tillåtna värden på x, vilket orsakar problem.
För det första måste jag dela med x, utan att veta om den kan vara 0 eller inte. För det andra får jag den "integrerande faktorn" e^(-4ln|x|). Jag vet inget om värdena på x, så jag måste ha kvar absolutbeloppet på x:et.

I lösningsanvisningarna står ingenting om det här. Det finns varken absolutbelopp på logaritmen, eller någon anmärkning på att x ska vara skilt från noll. Är det här slarv från lärarens sida, eller är det bara jag som inte fattar?

En relaterad fråga: Säg att man man antar att x är skilt från noll, och delar på x. Sedan får man nån funktion y som kan vara definierad i 0, till exempel y=x+1, måste man fortfarande lägga till att x är skilt från noll då?

Om du sätter in x = 0 i den ursprungliga ekvationen så ser du att det leder till y = 0, dvs en ganska ointressant lösning. Jag kan dock hålla med om att det är lite slarvigt att detta inte står med i lösningsförslaget.

Vad gäller den integrerande faktorn så kan du ju bara dela upp det i två fall, x > 0 och x < 0, och hantera dessa separat. Får du sedan samma lösning till differentialekvationen i båda fallen så är det helt enkelt den enda lösningen.

Då vet jag hur man ska göra, tack så mycket!

Det är ju bara i x=0 som man måste ha y=0. På andra ställen kan y ha andra värden.

Ok, jag förstår vad du menar. Ändå undrar jag vad som faktiskt är problemet här. För om man bara struntar i ditt problem med ln|x| och räknar på så får man fram att din DE kan skrivas på formen

x^5 (d/dx) x^(-4)y = 3x

Om man nu för kontrollens skull räknar baklänges genom att bara räkna ut derivatan, så får man

x^5 ( -4x^(-5)y + x^(-4)y' ) = 3x.

Uttrycket i VL är iofs potentiellt besvärligt i x=0, men ju faktiskt på ett extremt snällt sätt, eftersom x^5•x^(-5)=1 och x^5•x(-4)=x för alla x utom x=0, och lätt bara kan definieras som 1 resp x i x=0. Singulariteten i x=0 är hävbar. Och kvar blir då just original-DE.

Går vi tillbaka till omskrivningen har vi alltså
(d/dx) x^(-4)y = 3 x^(-4),
åter igen med en möjlig besvärlighet i x=0. Men räkna på ändå. Det ger
x^(-4)y = -x^(-3) + c
y = c x^4 - x
Vilket är en godtagbar allmän lösning för *alla* x till den ursprungliga DE. Och med villkoret y(1)=0 får vi
y = x^4 - x,
också utan några problemariska x någonstans, varken i själv, eller när den sätts in i den ursprungliga DE.

---

Har en känsla av det här faktiskt är enklare i komplex analys, eftersom man där kan välja att helt enkelt gå runt x=0 i det komplexa talplanet. (Men ok! Det finns tillfällen när det har STOR betydelse på vilken sida man går runt polerna...)

---

Till ev riktiga matematiker: jag är bara fysiker...
Klargör gärna.

Ahhh, smart!