Arbete och Energi (Mekanik) - Enkel uppgift

Jag har fastnat på en enstjärnig uppgift (alltså lättaste uppgiften) som jag verkligen inte kan lösa. Handlar om fjädrar och potentiell energi.


En elastisk lina med den naturliga längden l_0 som används vid så kallad "bungee jump" från en bro med höjden h testas med hjälp av en provkropp med massan m_1. Linans maximala längd vid detta prov uppmäts till l_1. Bestäm den högsta tillåtna massan m_max en hoppare kan ha för att han inte skall slå mot vattenytan.


Svaret ska vara: m_max = m_1(l_1/h)((h - l_0)/(l_1 -l_0))^2 .


Min lösning och idé:

Jag tänker mig att vi bortser från svängningar och att längden l_1 är den då kroppens tyngd och linans fjäderkraft tar ut varandra. Vi får då att

kΔl = k(l_1 - l_0) = m_1g <=> k = m_1g/(l_1 - l_0)

Är det här rätt? Eller måste jag ta i beaktande att mannen har en begynnelsehastighet som bromsas upp vid l_1, alltså är inte l_1 en jämviktspunkt?

Du har rätt i att du har fel. Längden l_1 är absolut inte en jämviktspunkt.

Ja, jag misstänkte det! Men hur bör jag gå tillväga? Han faller ju fritt längden l_0, därefter börjar linan dra uppåt med en ökande kraft allteftersom han faller. Jag kan ju beräkna rörelseenergin han vinner på det fria fallet, dvs (mv^2)/2, och sedan den potentiella energin i snöret.

Vad för ekvation ska jag ställa upp? {"Linans potentiella energi i läget l_1"} + (mv^2)/2 = mgl_0 ?

Total energi när provkroppen släpps (potentiell energi mätt från vattenytan):
E = m_1 g h

Total energi när provkroppen når sitt nedersta läge:
E = m_1 g (h-l_1) + (1/2)k(l_1-l_0)^2

Energin bevaras vilket ger
m_1 g h = m_1 g (h-l_1) + (1/2)k(l_1-l_0)^2
dvs
m_1 g l_1 = (1/2)k(l_1-l_0)^2

När en kropp med maximal massa hoppar och precis når vattnet gäller i stället
m_max g h = (1/2)k(h-l_0)^2

Om vi dividerar den senare ekvationen med den förra ledvis får vi
(m_max g h) / (m_1 g l_1) = ((1/2)k(h-l_0)^2) / ((1/2)k(l_1-l_0)^2)
dvs
(m_max h) / (m_1 l_1) = (h-l_0)^2 / (l_1-l_0)^2

Tack så mycket. Måste varit trött för jag var inne på precis samma banor, kanske att jag inte förstod att den potentiella energin var m_1gh och att den bevaras för dockan i sitt nedersta läge. Tack!

Ser att Manne redan har svarat men postar ändå ...

1. Prov med testmassa m₁. Massan släpps från brokanten och faller fritt sträckan l₀. Därefter börjar linan (med fjäderkonstanten k) att sträckas. Antag ideala förhållanden så att mekaniska energin E bevaras.

Låt brokanten vara nollnivå för massans lägesenergi och sätt linsträckningen = x då massan har hastigheten v. Detta ger E = 0:

E = m₁v²/2 - m₁g(l₀+x) + kx²/2 = 0 ... (1)

I nedre vändläge är v = 0 och l₀+x = l₁, så

-m₁gl₁ + k(l₁-l₀)²/2 = 0.

Linan har alltså fjäderkonstanten

k = 2m₁gl₁/(l₁-l₀)² ... (2)

2. Dags för våghalsiga Jerka att hoppa. Ekv (1) ger med m₁ = m:

mv²/2 - mg(l₀+x) + kx²/2 = 0.

Jerka nuddar vattenytan om l₀+x = h(!) då v = 0, vilket ger

-mgh + k(h-l₀)²/2 = 0.

Insättning av k enligt ekv (2) ger

m = m_max = m₁(l₁/h)(h-l₀)²/(l₁-l₀)².