ytintegral

Jag fick att divergensen blev 1

Ska jag först beräkna med avseende på z? Då får jag kvar dubbelintegralen x² + y²-1 dxdy kvar och här använder jag polära enligt x² + y² ≤ 1, stämmer det?

Ska orienteringen vara positiv eller negativ?

Du bör inte få divergensen till 1. Utan den blir 5y^4+z - 5y^4 - 2z = -z. Så du ska alltså beräkna integralerna

∫∫∫_Ω -z dV,

där Ω = {(x, y, z) | x² + y² ≤ 1, x² + y² ≤ z ≤ 1}, detta gör man lämpligast genom att byta till cylindriska koordinater. Sedan kommer du behöva beräkna integralen på toppen, eftersom normalen på topplocket är (0, 0, 1) samt att z = 1 där så får man att den blir

∫∫_Σ 1 ds

där Σ = {(x, y) | x² + y² ≤ 1}. Så detta är alltså enbart arean på enhetscirkeln och vi kan därför konstatera direkt att integralen är lika med π.