ytintegral

Hej, jag behöver hjälp med den här uppgiften:

beräkna ytintegrlaen F*N ds där F=(5xy^4+xz, 1-y^5, 2-z^2) och z=x^2+y^2, x^2+y^2<=1 och orienterad bort från z-axeln.

Jag börjar med att parametrisera och får:
x=u
y=v
z=u^2+v^2
u^2+v^2<=1

r=(u,v,u^2+v^2) och r_u' x r_v'=(-2u,-2v,1) pga orienteringen får man: (2u,2v,-1)

Så dubbelintegralen blir

(5uv^4+u^3+uv^2,1-v^5,2-(u^2+v^2)^2)(2u,2v,-1) dudv= 10u^2v^4+2u^4+2u^2v^2+2v-2v^6+(u^2+v^2)^2-2 dudv

Min fråga är om det jag gör rätt hittills och vad jag ska göra sen?

Det är överflödigt att byta ut x mot u och y mot v. Du skulle lika gärna kunna behålla x och y som variabler. Istället kan det dock vara värt att parametrisera med polära koordinater, med tanke på att integrationsområdet beskriver en cirkel i xy-planet.

När du gjort en bättre parametrisering så integrerar du sedan på de polära koordinaterna en i taget. När du integrerar med avseende på den ena så betraktar du den andra som en konstant.

Använd divergenssatsen istället. Det ser ut som integralen blir väldigt enkel om man tillämpar den.

Då får jag väl såhär:

dubbelintegralen Y (F*N)ds+ dubbelintegralen sigma (F*n)ds=trippelintegralen div F dxdydz

Men hur blir parametriseringen av sigma integralen?

Jag antar att du menar att sigma = {(x, y, 0) | x² + y² ≤ 1}? Testa skriv ned integralen och se om du ens behöver parametrisera för att beräkna den.

Jaha så jag ska sätta z=0?

Ojdå, jag läste fel på området du ska integrera över, det blir {(x, y, 1) | x² + y² ≤ 1}.

Så jag sätter först z=1 och räknar ut som vanligt men undrar vad den undre gränsen blir? Blir det noll och den övre 1? Hur blir det med trippelintegralens gränser?

Undre gränsen för vad?

I trippelintegralen så ska du integrerar över hela volymen, dvs du ska integrera över hela området x² + y² ≤ z ≤ 1, x² + y² ≤ 1.

Jaha okej men vad blir gränsen för x^2+y^2<=1 sen när man har räknat klart x² + y² ≤ z ≤ 1? Blir det från 0 till 1?

Om du pratar om i trippelintegralen så är det nog lämpligast att byta till cylindriska koordinater i den. Så då ska det gälla att r² ≤ z ≤ 1 och 0 ≤ r ≤ 1, samt att då ska integrera vinkeln från 0 till 2pi.

En sista fråga bara. När det kommer till parametriseringen r=(x,y,1) så fick jag att r_x' X r_y'=(0,0,1)
Och jag undrar om orienteringen är positiv eller negativ?