Mekanikfråga!

Hej, har en uppgift som lyder:

Betrakta en järnvägsvagn som rullar fritt (åt höger) längst ett lutande spår med lutningsvinkeln alpha, a. En partikel är upphängd med hjälp av en lätt stav i taket på vagnen. Bestäm vinkeln b mellan staven och normalen till vagnens tak sedan eventuell svängning upphört.

Min första fråga är: när det står att staven är lätt, ska man försumma dess massa då?

Jag tänker att jag går "in i vagnen" så där är accelerationen motriktad vagnen så den är åt vänster. Staven har en massa m och sen en spännkraft S snett uppåt.

I x-led: -ma=-S*sin(b)+ mg*sin(a)
I y-led: 0=s*cos(b)-mg*cos(a)

Vet inte om det är rätt för jag vet inte hur jag ska få fram vinkeln b, det ska bli 0 grader.

Ja, du ska rimligtvis försumma stavens massa.

I vänsterledet i den första ekvationen du har ställt upp antar jag att "a" ska beteckna accelerationen? Det blir ju lite rörigt när du använder "a" för att beteckna en vinkel i högerledet. Det går ju att bestämma accelerationen med hjälp av gravitationsaccelerationen och vinkeln. Testa att göra det så bör du få något som du kan lösa ut vinkeln b ur.

Det är enklare om du vrider koordinatsystemet Beta grader så att S och m*a är ortogonala (90 grader ifrån varandra), då kommer S och m*a inte hamna i samma jämviktsekvationer vilket gör det enklare att räkna ut. Obs, att vrida koordinatsystemet är inget måste men rekommenderas

Ett misstag du gör är att säga att accelerationen är "åt vänster", det är fel. Om systemet är i jämvikt är accelerationen likriktad med tågets acceleration. Dvs åt höger vinklad nedåt alpha grader, den resulterade kraften på staven av tågets acceleration är 180 grader från tågets riktning.

Ställ upp vinkeln Beta som vinkeln mellan stavens lutning och vertikal led.

Frilägg staven. Du har nu tre krafter som verkar på den. I tågets normalled blir jämviktsekvationen:
(1) S-mgcos(beta)=0;
I tågets riktning har du:
(2) mgsin(beta)-m*a=0;

Eftersom det är statik och accelerationen är samma som tågets acceleration blir (3) a=g*sin(alpha);
(2)+(3)--> mgsin(beta)=mgsin(alpha)
beta=alpha

Felpost :-(

Tack för hjälpen! Okej, alltså min asse sa att det är ett inertialsystem så för själva tåget är accelerationen åt höger men inuti tåget är det motsatt acceleration åt vänster för man trycks ju bakåt när man är inuti ett fordon. Så ska det systemet vara i jämvikt, men såg nu att jag skrivit fel i ekv. för x-led också för har inte jämvikt där.

Hm okej, ska tänka på det där med att vrida systemet och se hur det blir. Men fattar inte om beta=alpha och svaret är att beta=0 så betyder ju det att alpha också är 0? Och då har ju inte tåget en lutning?

Ja, det var dumt av mig att ta a som både vinkel och acceleration.

Om du byter tecken på vänsterledet i den övre ekvationen blir det rätt:

ma = S*sin(b)+ mg*sin(α) ... (*)

Partikeln med massan har accelerationen a i spårets riktning.
Som redan påpekats blir a = gsin(α). Insättning i (*) ger

S*sin(b) = 0,

så b bör bli = 0.

Tack!! Yes, jag nämnde sen att jag inte hade jämvikt i x-led, hade gjort fel. Det ska vara som du skrev fast blir det inte ma= -S*sin(b) + mg*sin(a)? Blir väl ingen skillnad i slutsvaret men vill bara vara säker.

Förresten, jag förstod aldrig hur det blev att a=g*sin(a). Kan du eller Lekmannen förklara det?

Tecknet på fösta termen i högerledet beror på hur man ansätter vinkeln b: ’+’ om partikeln ligger bakom normalen genom stavens övre ände, ’-’ om partikeln ligger framför normalen. Det går alltså lika bra med plustecken som med minustecken framför S*sin(b).
----
Säg att du har en låda som glider nedför ett glatt plan med lutningsvinkeln θ. Lådan, med massan m, påverkas av normalkraften N från planet samt tyngdkraften mg. Tyngdkraftskomponenten mg*sinθ axxar lådan, så F = ma ger

mg*sinθ = ma, dvs a = g*sinθ.

Aha då hänger jag med. Gäller det sambandet alltid när man har lutningsvinkeloch acceleration inblandad eller hur visste ni att man ska använda det nu?

Den glidande lådan/klossen finns väl med som exempel eller övning i så gott som samtliga inledande mekanikkurser? Ta en titt i kursboken!

Jadå, den är jag bekant med. Det var mer att jag inte visste hur man skulle veta att man ska använda just sambandet a=g*sin(a). Var det för att vagnen är på ett lutande plan/spår som ni visste att ni kunde använda det sambandet? För i sådana fall hänger jag med!