När används e som bas?

Jag har gått i 2 distanskurser då jag läser in Ma3 och Ma4 på 2 månader, och trots den korta tiden så har jag ändå upptäckt min fallenhet för matematiska resonemang. Men ett tal har alltid gäckat mig; konstanten e.

Jag förstår att e är talet du får fram när du delar in en effektiv ränta i oändligt många utbetalningar, och med det i åtanke förstår jag även att derivatan av e^x=e^x. Sen även dess samband med naturliga logaritmen, men där stannar det.

I en exponentialfunktion som har 2 som bas så kan ju svaret bara bli en produkt av 2 om inte en udda konstant adderas/subtraheras, och principen är den samma med bas 10.

Ska jag tänka att all exponent ökning som inte är en produkt av 2 och 10 ska ha e som bas? Det känns varken hållbart eller rigoröst, men i vilken typ av uppgifter ska jag använda e som bas? Om jag har en bakteriekultur som fördubblas med tiden så blir sambandet 2^t.

Hur kommer det då sig att man använder e för att beskriva vissa celldelningar, när de i princip är produkter av ett tal med 2 som bas?

Vet inte var jag ska börja... Men e är ett mystiskt tal som återkommer lite här och var. Kolla härledningen av e^(pi*i) = -1 så inser du att naturliga logaritmen är ganska central inom matematiken. Allt faller på plats liksom. Läs om Taylorutvecklingar och imaginära tal.

edit: e^(pi*i)=-1 kallas Eulers identitet

Jo så långt har jag förstått, jag har hört talas om e^(pi*i) + 1 = 0, ska kolla in det lite nogrannare.
Pi har ju en relativt enkel definition; kvoten av en cirkels omkrets och dess diameter, vilket i sin tur gör att pi är användbart för att beskriva allt cirkulärt och perioder, från trigonometriska funktioner till chans/riskbedömning.
Men e tycks inte ha samma enkelhet kring sig, eller? e beskriver jag som en punkt på tallinjen vars produkter är lika stor som funktionens ökning, alltså derivatan är densamma som funktionen i sig. Det känns ju tämligen logiskt att en sådan punkt bör existera.

Men ja, jag ska kika på Taylorutvecklingar!

Man kan naturligtvis alltid ha vilken bas man vill. Använd den som är enklast och mest upplysande för tillfället. T ex för Fibonacci-talen är det gyllene snittet, φ=(1+√5)/2 en praktisk bas i en sluten formel.

Just e är praktisk inom stora delar av matematiken, just därför att
(e^x)'=e^x
(som du nämnde). Inversen till e^x är ln(x) som är praktisk på egna meriter, t ex därför att
(ln x)'=1/x.
Och så har vi som sagt även det där med komplexa tal. Etc.

Det tar en viss tid T för mängden att fördubblas. 2^(t/T) blir det.

Sedan kan vi anta T' = T log₂a och då får vi 2^(t/T) = 2^(log₂a·t/T') = (2^(log₂a))^(t/T') = a^(t/T') där a godtycklig. Alltså vi kan välja vilken bas som helst, det är bara att justera T.

Vid fysiska process som urladdning av R-C krets eller bromsning under viskös friktion används e som bas eftersom då blir uttrycket för T som enklast (och detta pga att (e^x)' = e^x medan (a^x)' = ln(a) · a^x).

Vet inte om detta ar jatteupplysande, men det finns en mattenhet pa information som kallas "nat" (jamfor bit), som som da ar den naturliga logaritmen av antal mojliga tillstand ett system kan da. Det lustiga har ar att man da konceptuellt kan tanka sig "bits" (som i dina bits i datorn) som har e antal mojliga konfigurationer, jamfort med vanliga bits som har 2. Detta ar mojligtvis kopplat till att ha e som bas