Matte analys, en variabel. -Trigonometrisk substitution

∫(x³)√(9-x²)dx där x=3sinθ

Förstår inte riktigt hur man ska göra substitutionen. Tacksam för hjälp

Några tankar:
Uttrycket är ju bara att sätta in 3sin(t) i stället för x. Men vad blir dx?
dx/dt går ju att räkna ut, vanlig derivering. Och sedan är väl saken klar?
Ps hittar inte theta, skrev t .

∫(x³)√(9-x²)dx där x=3sinθ, dx=3cosθ


∫(x³)√(9-x²)dx = ∫(27sin³θ)√(9-9sin²x)3cosθdθ = ∫27sin³θ√(9cos²θ)3cosθdθ

= ∫27sin³θ3cosθ3cosθdθ =∫27sin³θ9cos²θdθ

Nu då?

Skriv om sin³θ som sin²θ*sinθ, det kan därefter skrivas om som trig-ettan och därefter partiell integration.

Edit: Insåg efter lite snabb räkning att det även går med variabelsubstitution då Cos(x) = d/dx sin(x)

Om du är osäker på variabelsub skriver du om dθ som en annan funktion du.

Lyckas dessvärre inte få något vettigt

Ikke den aller letteste denne nei.

∫ sin³θ cos²θ dθ = ∫ (sinθ cos²θ - sinθ cos⁴θ)dθ,

ty

sin³θ cos²θ = sinθ(1-cos²θ)cos²θ = sinθ cos²θ - sinθ cos⁴θ.