Bestäm största och minsta värdet för funktionen

Hej!

Sitter och klurar på en uppgift som lyder: "Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x, y)=3x-4x^3+12xy på det område, som bestäms av olikheterna x≥0, y≥0 och x+y≤1"

Jag vet att gränserna skapar en triangel med ränderna
x=0, 0≤y≤1
y=0, 0≤x≤1
y=1-x, 0≤x≤1

x=0 ger oss att f(0, y)=0 för alla y
y=0 ger oss att f(x, 0)=3x-4x^3

Jag har börjat med att derivera f(x, 0), satt derivatan lika med noll och fått ut att det största värdet för x, när x går från 0 till 1, kommer vara 1/2. Detta betyder att f(1/2, 0)=1.

Det största värdet på y fås genom att först ta reda på f(x, (1-x)), derivera uttrycket, sätta derivatan lika med noll och sedan får jag ut att f(1/2, (1-1/2))=4. Maximum 4 för x=1/2.

Det största värdet uppnås i punkten (1/2, 1/2), f(1/2, 1/2)=4.

Men, nu vet jag inte hur jag ska bestämma det minsta värdet eller undersöka det inre området? Känner mig lite vilse.

Tack på förhand.

Testa gränsvärdena borde väl räcka då.

f(0, 0) = 0
f(0, 1) = 3
f(1, 0) = -1

Sen får du väl tre gränskurvor mellan de punkterna. Så kolla eventuella minpunkter där också.

nej det räcker inte, du har glömt både randen och det innre området
punkter där partiella derivator ej existerar
randen (kola de tre randerna för sig, parametisera randen som funktion av x där y fixt och vice versa)
partiella derivatorns nollställen

Kom på det. Du måste kolla kurvorna mellan punkterna (randen) för eventuella minpunkter också, men inre området behöver du inte kolla eftersom du bara hade en extrempunkt i rummet som var en maxpunkt.

Tack för svaren.

Jag ska alltså:

• Undersöka punkter där partiella derivator ej existerar
• Kolla de tre randerna för sig, parametisera randen som funktion av x med fixt y (och vice versa)
• Hitta partiella derivators nollställen
• Undersöka kurvorna mellan punkterna (randen) för eventuella minpunkter

Men nu känner jag mig ännu mer vilse än innan, hur ska jag börja räkna?

Börja med att derivera f och fråga dig:

• Finns det inre punkter där derivatan inte är definierad?
• Finns det inre punkter där ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0?

Sök sedan extrempunkter på randen.
Detta gör du genom att för varje del av randen parametrisera delen och bilda g(t) := f(x(t), y(t)) och sedan derivera och fråga dig:

• Finns det inre punkter där derivatan inte är definierad?
• Finns det inre punkter där dg/dt = 0?

Sök slutligen extrempunkter på randparametriseringarnas rander d.v.s. i hörnen av området.
Detta gör du genom att bara kontrollera värdet av f i hörnen.