Sannolikhetsteori

Bestäm sannolikheten för att av 23 personer minst två har födelsedag på samma dag. Antag att året har 365 dagar och att alla födelsedagskombinationer är lika sannolika.

Ledning: Betrakta den komplementära händelsen.


Det finns ett lösningsförslag jag tagit del av, men jag förstår verkligen inte hur man beräknar antalet gynnsamma fall, eller antalet totala utfall. Hur ska jag tänka? Facit nämnde såklart något med multiplikationsprincipen.

Vi börjar med att beräkna sannolikheten för att det bland 23 personer inte finns minst två personer som har födelsedag på samma dag, dvs att alla 23 personer fyller på olika dagar.

För att göra detta numrerar vi personerna från 1 till 23.
Person nr 1 har någon födelsedag; det kvittar när.
Person nr 2 fyller på någon av årets 365 dagar, men för att ha en annan födelsedag än person nr 1 finns 364 godkända dagar. Sannolikheten för att hen har en annan födelsedag är alltså 364/365.
Person nr 3 fyller på någon av årets 365 dagar, men för att ha en annan födelsedag än både person nr 1 och person nr 2 finns 363 godkända dagar. Sannolikheten för att hen har en annan födelsedag är alltså 363/365.
...
Person nr 23 fyller på någon av årets 365 dagar, men för att ha en annan födelsedag än övriga 22 personer finns 343 godkända dagar. Sannolikheten för att hen har en annan födelsedag är alltså 343/365.

Sannolikheten för att alla 23 personer fyller på olika dagar är därför P = 1 * 364/365 * 363/365 * ... * 343/365.

Sannolikheten för att minst två personer fyller på samma dag blir sedan 1 - P.

Mannes svar är bra. Wikipedia har också ett uppslag om detta problem.
https://sv.wikipedia.org/wiki/F%C3%B6delsedagsparadoxen

Tack!

Antalet gynnsamma utfall för komplementhändelsen: Vi kan välja någon av årets 365 födelsedagar åt den första personen. Därefter har vi 364 födelsedagar kvar att välja bland åt den andra personen. Därefter har vi 363 dagar kvar att välja bland åt den tredje personen, etc. ända tills vi ska välja födelsedag åt den 23:e personen som då har 365 - 22 = 343 dagar kvar att välja bland. Multiplikationsprincipen ger att antalet gynnsamma utfall är 365*364*363*...*343.

Antal möjliga utfall för komplementhändelsen är 365^23 enligt multiplikationsprincipen då vi åt varje person kan välja en födelsedag fritt från årets 365 dagar.