Linjär algebra.

Tja!

Har fastnat på en uppgift, den lyder som följande:




Bestäm avståndet mellan v och det ortogonala komplementet till Span{u1,u2}.

u1= [1 0 1 0]
u2= [1 2 2 3]
v=[ 1 1 1 1]




Jag tänker såhär:

jag försöker först och hitta det ortogonala komplementet till W=Span[u1,u2] , när jag hittar den så kan jag sedan ta reda på avståndet mellan W och v som är samma sak som det ortogonala projektionen av v på W. Men det jag inte riktigt förstår är, på lösningen så står det att det ortogonala komplementet till W är just span[u1,u2] , hur är de möjligt? Ska inte det ortogonala komplementet till W vara utanför planet som u1 och u2 spänner upp?

Är väldigt tacksam för svar

Om W = span{u1, u2} så är det mycket riktigt att det ortogonala komplementet till W inte är span{u1, u2}. Notera däremot att säg att U är det ortogonala komplementet till W, vi vill då beräkna

||v - proj_U(v)||

Men v = proj_W(v) + proj_U(v), så alltså är

||v - proj_U(v)|| = ||proj_W(v) + proj_U(v) - proj_U(v)|| = ||proj_W(v)||

så vi ska alltså beräkna normen av proj_W(v). Så beräkna alltså proj_W(v) och sedan tar du normen på den vektorn.

och normen av proj_W(v) får man genom att ortogonalisera W och summera kvadratiskt antar jag?

Dvs om W har en ON-bas w1,w2 (normen för w1,w2 = 1) så är proj_W(v) = sqrt (<v,w1>**2+<v,w2>**2) (där <a,b> är skalärprodukten).
I vårt fall är ju v = (1,1,1,1) så det blir extra enkelt.