En allmän 2:a gradare ser ut så här:
ax² + bx + c = 0
Vad händer egentligen med pq-formeln i gränsen a→0? Låt oss med anledning av denna tråd utreda detta
ordentligt.
Om a≠0 får vi
x² + (b/a)x + c/a = 0
och då ger pq-formeln (med p=b/a, q=c/a) lösningarna
x = -½b/a ± √((½b/a)²-c/a)
vilket kan förenklas till
x = (½b/a)((-1 ± √(1-4ac/b²)).
De två lösningarna ges alltså av
x₁ = (½b/a)((-1 + √(1-4ac/b²))
[förläng med 1+√(1-4ac/b²) samt använd konjugatregeln]
= (½b/a)(-4ac/b²)/(1+√(1-4ac/b²))
= -c/b • 2/(1 + √(1-4ac/b²))
och
x₂ = -b/a • (1 + √(1-4ac/b²))/2
Nu är det lätt att se vad som händer i gränsen a→0. Det som står efter • i båda lösningarna går snällt mot 1 då a→0. Kvar har vi
x₁ →-c/b
x₂ →-∞ eller x₂→∞
beroende på om b/a är positiv eller negativ när vi går mot gränsen a→0.
x₁ är lösningen vi får om vi helt enkelt bara sätter a=0 i ekvationen och alltså får
bx + c = 0
Men var kommer den oändliga lösningen x₂ ifrån? Det blir nog lite klarare när vi tittar på graferna för t ex
ax² + x - 1
för a=1, 0.3, 0.1, 0.03 samt 0. (Lösningarna till ax²+x-1=0 ges alltså av där y=0, dvs där kurvorna korsar x-axeln.)
http://www.wolframalpha.com/input/?i...E-10%2C+x%3C10
Som synes är alla kurvorna ganska lika varandra nära x=0 och alla har ett nollställe som ligger ganska nära motsvarande nollställe för de andra kurvorna. Men vi ser också ett annat nollställe allt längre ned på x-axeln ju mindre a är. a är ett mått på hur böjd kurvan är, och ju mindre böj, desto längre ned måste man ta sig på kurvan innan den böjer upp igen och korsar x-axeln. I gränsen a→0 är grafen rät och böjer
aldrig upp igen. Dvs för a=0 finns det bara ett nollställe.