Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  • 2
  • 3
2017-04-13, 10:42
  #25
Medlem
Jackdawcrests avatar
Lite kladdigt, men här har du ett bevis.


x^2 + px + q = 0

-->

(x+p/2)^2 - (p/2)^2 + q = 0

-->

(x+p/2)^2 = p^2/4 - q

-->

x + p/2 = +- sqrt[p^2/4 - q]

-->

x = - p/2 +- sqrt[p^2/4 - q]
Citera
2017-04-13, 11:14
  #26
Medlem
Waikato95s avatar
Bara på flashback kan pq-formeln anses vara en konspiration

Både 1 och 0 är lösningar.
__________________
Senast redigerad av Waikato95 2017-04-13 kl. 11:17.
Citera
2017-04-13, 17:58
  #27
Medlem
http://imgur.com/a/o8KPj

Detta ges om antagandet är att en andragradsfunktion skrivs som y=x^2+px+q och reglerna är
x = 1, y = 0, p = 1, q = 0
Vi ser då att värdena inte stämmer, så det är inte så konstigt att pq-formeln ger ett svar som du anser vara fel.

Ska stå dina efter slutsats, inte din.
Citera
2017-05-07, 13:59
  #28
Medlem
nerdnerds avatar
En allmän 2:a gradare ser ut så här:
ax² + bx + c = 0
Vad händer egentligen med pq-formeln i gränsen a→0? Låt oss med anledning av denna tråd utreda detta ordentligt.

Om a≠0 får vi
x² + (b/a)x + c/a = 0
och då ger pq-formeln (med p=b/a, q=c/a) lösningarna
x = -½b/a ± √((½b/a)²-c/a)
vilket kan förenklas till
x = (½b/a)((-1 ± √(1-4ac/b²)).
De två lösningarna ges alltså av
x₁ = (½b/a)((-1 + √(1-4ac/b²))
[förläng med 1+√(1-4ac/b²) samt använd konjugatregeln]
= (½b/a)(-4ac/b²)/(1+√(1-4ac/b²))
= -c/b • 2/(1 + √(1-4ac/b²))
och
x₂ = -b/a • (1 + √(1-4ac/b²))/2

Nu är det lätt att se vad som händer i gränsen a→0. Det som står efter • i båda lösningarna går snällt mot 1 då a→0. Kvar har vi
x₁ →-c/b
x₂ →-∞ eller x₂→∞
beroende på om b/a är positiv eller negativ när vi går mot gränsen a→0.

x₁ är lösningen vi får om vi helt enkelt bara sätter a=0 i ekvationen och alltså får
bx + c = 0
Men var kommer den oändliga lösningen x₂ ifrån? Det blir nog lite klarare när vi tittar på graferna för t ex
ax² + x - 1
för a=1, 0.3, 0.1, 0.03 samt 0. (Lösningarna till ax²+x-1=0 ges alltså av där y=0, dvs där kurvorna korsar x-axeln.)

http://www.wolframalpha.com/input/?i...E-10%2C+x%3C10

Som synes är alla kurvorna ganska lika varandra nära x=0 och alla har ett nollställe som ligger ganska nära motsvarande nollställe för de andra kurvorna. Men vi ser också ett annat nollställe allt längre ned på x-axeln ju mindre a är. a är ett mått på hur böjd kurvan är, och ju mindre böj, desto längre ned måste man ta sig på kurvan innan den böjer upp igen och korsar x-axeln. I gränsen a→0 är grafen rät och böjer aldrig upp igen. Dvs för a=0 finns det bara ett nollställe.
Citera
  • 2
  • 3

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback