Egenskap för absolutbeloppet (hjälp med bevis)

Jag vill visa att för b>0 så gäller att
|a|≥b ger a≥b eller a≤-b.

Jag delar upp det i tre fall.
Fall 1: a>0, |a|=a ger a≥b
Fall 2: a=0, |a|=0 ger 0≥b, men detta kan väl inte stämma då b>0?
Fall 3: a<0, |a|=-a ger -a≥b

Jag har nu 3 fall:
a>0: a≥b, a-b≥0 (1)
a=0: 0≥b
a<0: -a≥b, b+a≤0 (2)

Kombinera (1) och (2) så b+a≤0≤a-b, dvs b+a≤a-b.
Omflyttning ger 2b≤0, dvs b≤0, men detta ser märkligt ut då b>0?

Frågor:
I fall 2, varför blir det en motsägelse där?
Varför går det inte att kombinera olikheterna (sista steget)?

Tack!

Du har ju själv sagt att b>0. Då är det inte så intressant att studera fallet a=0.

Anledningen till att du inte kan kombinera olikheterna är för att de avser olika fall. Variablen a har olika värden.

Fallet a=0 existerar inte eftersom du sagt att |a| är större eller lika med b, och b är strikt större än 0.

Det är jag med på, däremot om a=0 är falsk så borde väl hela satsen vara falsk?

Nej det är den inte. Det den säger är alltså att om |a| ≥ b så är a ≥ b eller a ≤ -b.

Satsen säger absolut ingenting om sanningsvärdet hos att |a| ≥ b, utan den säger bara att om det är sant så gäller även ....

På samma sätt som att jag skulle kunna säga att om bly är lättare än vatten så skulle en blykula flyta. Det är ett helt och hållet sant påstående, däremot är det inte sant att bly är lättare än vatten. Så påståendet är sant även om premissen är falsk.

Ja, men det verkar som att du blandar lite vad du vill göra då. Sedan går det inte att kombinera olikheterna på det sättet som du gör det eftersom a inte är samma variabel i olikheterna.

Kalla påståendet |a|≥b för p, och påståendet a≥b eller a≤-b för q.
Det du vill visa är då att p -> q. Detta är logiskt ekvivalent med att visa att antingen måste p vara falsk, eller så måste q vara sann.

Låt oss nu titta på fall 2.

a=0, så |a|=0 < |b|. Dvs vi har visat att p är falskt i detta fall, perfekt!

Snyggt.

För den som inte är så insatt i logik tänkte jag bara förtydliga lite. P=>Q är faktiskt samma sak som ~PvQ även om det känns otroligt orimligt. Den förstnämnda utläses "P implicerar Q" och den sistnämnda "inte P eller Q". Dessa har faktiskt samma sanningstabell.