Teoretisk fråga om observation av tiden (ljushastighet).

Anta att vi sitter på en farkost 100 ljusår ifrån Jorden och vi har ett teleskop som är så precis att man kan se människorna på jorden. Sedan ska vi börja åka tillbaka till jorden och eftersom vår farkost är så pass utvecklad kan vi åka 50% av ljusets hastighet. När vi då tittar i vårat teleskop medans vi åker i sådan fart kommer vi då se människorna utvecklas från x till x+100 år på bara 50 år? Alltså kommer vi uppleva när vi kollar på människorna att tiden går x2.

Konkret exempel: Kommer man kunna se Usain Bolt springa dubbelt så snabbt när vi kollar på jorden med ett så pass starkt teoretiskt teleskop medans vi åker 50% av ljusets hastighet mot jorden?

Ljusets hastighet är ju konstant så det innebär väl att oavsett i vilken hastighet du rör dig, så kommer du alltid att uppfatta hastigheten likadant. SÅ om du rör dig i ljusets hastighet ( 299 792 458 m/s ) så kommer fortfarande ljuset att ha samma hastighet för dig, dvs 299 792 458 m/s snabbare än den hastigheten du rör dig på.

Eller har jag helt fel?

Du missar några saker och så räknar du fel, men annars har du rätt: vi skulle se allting hända mycket fortare på jorden.

Detaljerna:
1. Med c/2 tar det 200 år (jordtid) att åka 100 ljusår. (Inte 50 år.)
2. När vi börjar resan ser vi först händelser som hände för 100 år sen (jordtid). När vi kommer fram om 200 år (jordtid) har vi alltså sett händelser som har hänt under 300 år (jordtid).
3. Tiden är relativ. De 200 åren resan tar enligt jorden blir bara 200•√(1-(½c/c)²) = 100√3 ≈ 173 år för oss.

Dvs de 300 åren på jorden kommer vi ses spelas upp på 100√3 år, vilket är 300/(100√3)=√3≈1.73 gånger snabbare.

Själv tycker jag att såna här problem blir lättast att hantera om man ritar rumtidsdiagram. I relativitetsteorin brukar sådana ritas med tiden uppåt och sträckor i rummet horisontellt. Dvs enligt någon observatör, för andra observatörer kan t ex tidsriktningen luta lite åt något håll.

I det här fallet ritar jag enligt jordens referenssystem. || står för jordens världslinje. ••• är ljusstrålen som når fram till rymdskeppet precis vid dess resas början, 100 ly (light years = ljusår) från jorden. Och rymdskeppets världslinje markeras med /. Den uppmätta tiden på rymdskeppet symboliseras med τ (grekiska "tau", standardbeteckning för s k egentid).Resan tar 200 år enligt jorden, för då blir hastigheten
(100 ljusår)/(200 år) = 1/2 år.
Enligt relativitetsteorin ges nu egentiden τ av en relation som starkt påminner om Pythagoras sats:
τ² = 200² - 100²
Enligt Pythagoras sats skulle det vara + men enligt relativitetsteorin blir det faktiskt -. Förutom den inte så lilla detaljen, kan vi dock tänka och räkna på väldigt liknande sätt som i vanlig plan geometri!

Svaret blir nu iaf att τ=100√3≈173 år, och att om man jämför med de 100+200=300 åren på jorden så går rymdskeppets tid 300/(100√3)=√3 gånger snabbare -- precis som vi räknade ut förut.

Första gången man ser detta sätt att tänka och räkna kan det verka mer komplicerat. Men när man har vant sig blir det mycket enklare. På mitt kladdpapper har jag bara ritat figuren ovan och skrivit två rader med beräkningar: den för τ, och så den om hur mycket snabbare tiden går.

Slutligen går det förstås att ordna med andra värden på avstånd och hastighet osv, så att uppspelningshastigheten blir just dubbelt så stor. Här har jag använt det faktum att
3²+4²=5².
På rymdskeppet går det alltså √(50²-30²)=40 år, och under denna tid ser de vad som har hänt på jorden under 30+50=80 år. Rymdskeppets hastighet måste då vara
(30 ljusår)/(50 år) = 0.6 c