Citat:
Ursprungligen postat av
innesko
En alternativ lösning är att S = Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n.
Detta ger att
S = f_1 + Σ_{n = 1, ∞} (f_{n - 1} + f_n)/2^n = f_1 + Σ_{n = 2, ∞} f_{n - 1}/2^n + Σ_{n = 1, ∞} f_n/2^n = f_1 + 1/4 Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n + 1/2 Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n = 1 + 1/4 * S + 1/2 * S
Detta ger alltså ekvationen
S = 1 + 3S/4 ⇒
S = 4.
Däremot så antar man i denna lösning att serien konvergerar.
Problemet har en lite intressant generalisering. Definiera
F(z) = ∑_{n=0,∞} f_{n+1} z^n
som konvergerar för |z| < 1/φ = (√5-1)/2 = 0.6180...
Om jag inte tänker fel någonstans ger din metod då
F(z) = 1 + F(z)/z² + F(z)/z
F(z) = 1/(1-1/z-1/z²) = z²/(z²-z-1)
vilket även definierar F(z) i hela det komplexa talplanet utom i polerna (dvs där z²-z-1=0).
För z=1/2 har vi då, som sagt(!), F(1/2)=4.
Den första definitionen, med summa, är inte definierad för z=1. Likafullt kan man ju skoja till det lite och använda formlerna för z=1 för att konkludera att
1+1+2+3+5+8+13+21+... = -1
Vilket säkert är användbart i 26-dimensionell strängteori eller något..