Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2017-03-24, 11:22
  #1
Medlem
adolf512s avatar
Varför blir detta 4? ser inget lätt sätt att visa detta.
__________________
Senast redigerad av adolf512 2017-03-24 kl. 12:16.
Citera
2017-03-24, 11:33
  #2
Medlem
Vad har täljaren för mönster?
Citera
2017-03-24, 11:37
  #3
Medlem
starke_adolfs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av adolf512
Varför blir detta 4? ser inget lätt sätt att visa detta.
Har du skrivit av uppgiften rätt? Det ser ut som att det ska vara Fibonaccitalen i täljaren men du har missat en 8.
Citera
2017-03-24, 11:40
  #4
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av adolf512
Varför blir detta 4? ser inget lätt sätt att visa detta.

Förstår jag frågan rätt? Varje term är alltså ett Fibonaccital delat med en exponent av 2?

Finns antagligen något elegant sätt att lösa det utifrån någon av alla identiteter som gäller för Fibonacci. Men jag skulle nog istället göra det med ett gordiskt svärdshugg:

Utnyttja att
Fn = (φ^n-ψ^n)/√5
där
φ = (1+√5)/2
ψ = (1-√5)/2
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibona...orm_expression)

Din serie blir då bara en summa av två geometriska av typen
∑(φ/2)^n
∑(ψ/2)^n
...
__________________
Senast redigerad av nerdnerd 2017-03-24 kl. 11:45.
Citera
2017-03-24, 11:40
  #5
Medlem
Ducadreams avatar
Det fattas en 8?
Citera
2017-03-24, 11:42
  #6
Medlem
inneskos avatar
Om täljaren är fibonnacitalen så får man serien

Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n

där f_n är det n:te fibonnacitalet. Man kan visa att f_n kan skrivas på formen

f_n = A*p^n + B*q^n

där A = 1/√(5), B = -1/√(5), och p = (1 + √5)/2, q = (1 - √5)/2 så serien blir

Ap Σ_{n=0, ∞} p^n/2^n + Bq*Σ_{n=0,∞}q^n/2^n = A * p/(1 - p/2) + B* q/(1 - q/2) = 4
Citera
2017-03-24, 12:17
  #7
Medlem
adolf512s avatar
Japp jag missade en 8:a(rättat nu) tack för lösningen.

Ska se om jag hittar en egen lösning.
Citera
2017-03-24, 13:07
  #8
Medlem
inneskos avatar
Citat:
Ursprungligen postat av adolf512
Japp jag missade en 8:a(rättat nu) tack för lösningen.

Ska se om jag hittar en egen lösning.

En alternativ lösning är att S = Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n.

Detta ger att

S = f_1 + Σ_{n = 1, ∞} (f_{n - 1} + f_n)/2^n = f_1 + Σ_{n = 2, ∞} f_{n - 1}/2^n + Σ_{n = 1, ∞} f_n/2^n = f_1 + 1/4 Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n + 1/2 Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n = 1 + 1/4 * S + 1/2 * S

Detta ger alltså ekvationen

S = 1 + 3S/4 ⇒
S = 4.

Däremot så antar man i denna lösning att serien konvergerar.
Citera
2017-03-25, 13:08
  #9
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av innesko
En alternativ lösning är att S = Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n.

Detta ger att

S = f_1 + Σ_{n = 1, ∞} (f_{n - 1} + f_n)/2^n = f_1 + Σ_{n = 2, ∞} f_{n - 1}/2^n + Σ_{n = 1, ∞} f_n/2^n = f_1 + 1/4 Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n + 1/2 Σ_{n = 0, ∞} f_{n + 1}/2^n = 1 + 1/4 * S + 1/2 * S

Detta ger alltså ekvationen

S = 1 + 3S/4 ⇒
S = 4.

Däremot så antar man i denna lösning att serien konvergerar.

Problemet har en lite intressant generalisering. Definiera
F(z) = ∑_{n=0,∞} f_{n+1} z^n
som konvergerar för |z| < 1/φ = (√5-1)/2 = 0.6180...

Om jag inte tänker fel någonstans ger din metod då
F(z) = 1 + F(z)/z² + F(z)/z
F(z) = 1/(1-1/z-1/z²) = z²/(z²-z-1)
vilket även definierar F(z) i hela det komplexa talplanet utom i polerna (dvs där z²-z-1=0).

För z=1/2 har vi då, som sagt(!), F(1/2)=4.

Den första definitionen, med summa, är inte definierad för z=1. Likafullt kan man ju skoja till det lite och använda formlerna för z=1 för att konkludera att

1+1+2+3+5+8+13+21+... = -1

Vilket säkert är användbart i 26-dimensionell strängteori eller något..
Citera
2017-03-25, 13:36
  #10
Medlem
inneskos avatar
Citat:
Ursprungligen postat av nerdnerd
Problemet har en lite intressant generalisering. Definiera
F(z) = ∑_{n=0,∞} f_{n+1} z^n
som konvergerar för |z| < 1/φ = (√5-1)/2 = 0.6180...

Om jag inte tänker fel någonstans ger din metod då
F(z) = 1 + F(z)/z² + F(z)/z
F(z) = 1/(1-1/z-1/z²) = z²/(z²-z-1)
vilket även definierar F(z) i hela det komplexa talplanet utom i polerna (dvs där z²-z-1=0).

För z=1/2 har vi då, som sagt(!), F(1/2)=4.

Den första definitionen, med summa, är inte definierad för z=1. Likafullt kan man ju skoja till det lite och använda formlerna för z=1 för att konkludera att

1+1+2+3+5+8+13+21+... = -1

Vilket säkert är användbart i 26-dimensionell strängteori eller något..

Haha, jag måste säga att det är lite coolare att summan av fibonnaci talen blir -1, än att 1 + 2 + 3 + ... = -1/12.
Citera
2017-03-26, 11:51
  #11
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av innesko
Haha, jag måste säga att det är lite coolare att summan av fibonnaci talen blir -1, än att 1 + 2 + 3 + ... = -1/12.

Och här är ett "bevis" som nog iaf kan publiceras på Youtube:

Vi definierar först summan S, skriver sen om den något, och så adderar vi ledvis:
Kod:
   S = 1+1+2+3+5+8+13+...
 + S = 0+1+1+2+3+5 +8+...
---------------------------
  2S = 1+2+3+5+8+13+21+...
Den sista radens HL är samma som S, förutom att det fattas en inledande 1:a, dvs
2S = S-1
S = -1

Dvs

1+1+2+3+5+8+13+21+... = -1

Q.E.D.
Citera
2017-03-26, 13:39
  #12
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av nerdnerd
Problemet har en lite intressant generalisering. Definiera
F(z) = ∑_{n=0,∞} f_{n+1} z^n
som konvergerar för |z| < 1/φ = (√5-1)/2 = 0.6180...

Om jag inte tänker fel någonstans ger din metod då
F(z) = 1 + F(z)/z² + F(z)/z
F(z) = 1/(1-1/z-1/z²) = z²/(z²-z-1)
vilket även definierar F(z) i hela det komplexa talplanet utom i polerna (dvs där z²-z-1=0).

För z=1/2 har vi då, som sagt(!), F(1/2)=4.

Den första definitionen, med summa, är inte definierad för z=1. Likafullt kan man ju skoja till det lite och använda formlerna för z=1 för att konkludera att

1+1+2+3+5+8+13+21+... = -1

Vilket säkert är användbart i 26-dimensionell strängteori eller något..

Klantade mig. Räknar man rätt blir det först
F(z) = 1 + (z+z²)F(z)
dvs
F(z) = 1/(1-z-z²)
men även detta ger ju F(1)=-1. Och så ger DENNA formel även rätt värde för problemet i trådstarten, F(1/2)=4, i motsats till min förra felaktiga.
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback