Differentialekvation

Har fastnat på denna diff.ekv:
xy'+y^2=0

Det första steget som facit gör är att skriva om ekvationen som dx/x + dy/y^2 =0 Vad grundas detta på?

Man inser att det är en så kallad separabel differentialekvation och vill därför samla alla termer med x i ena ledet och y i andra ledet. Man kan "separera" x och y-beroende.

xy'+y^2=0

Eftersom y' = dy/dx så:

xdy/dx + y² = 0

Multiplicera båda led med dx/xy²

dy/y² + dx/x = 0

Skriv sedan

-(1/y²)dy = (1/x) dx

Integrera med avseende på respektive variabel. Glöm inte konstanttermen.

..

Hur såg du så lätt att man skulle multiplicera med denna term? För att det är multiplikation med den faktorn som gör att allt med x i sig samlas i en term och allt med y i en annan. Du kan naturligtvis göra det steg för steg, men att göra allt på en gång är det snabbaste sättet att göra det på.

Varifrån kommer minustecknet?
Du har dy/y² + dx/x = 0
Subtrahera dy/y² från båda led. Därifrån kommer minustecknet.

Ah, tackar!

Ett konkret tips på liknande uppgifter när du ser att den är separabel är att börja med att försöka "få bort" allt med x i sig från ena termen. Sedan försöker du "få bort" allt med y i sig från den andra termen. Så i det här fallet:

xdy/dx + y² = 0

Vad är smidigast? Få bort allt med y i första termen kanske. Dividera med dy.

x/dx + y²/dy = 0
x/dx = -y²/dy

Åh nej. dx och dy i nämnaren, vad göra? Flippa runt täljare och nämnare!

-(1/y²)dy = (1/x) dx

På så sätt har vi kommit fram till samma sak som tidigare. Vi har använt ett annat tankesätt, men i praktiken gjort exakt samma sak som tidigare.

Tack återigen! Tydligt förklarat