Jag håller just nu på att försöka härleda tröghetsmomentet för en sfär, och jag försöker göra det genom att integrera massan för en ihålig sfär eftersom jag tycker att det känns mycket mer naturligt än att integrera över en skiva.
Problemet är bara att jag verkar få fel resultat, trots att jag tycker att jag resonerar på ett ganska vettigt sätt.
Mitt resonemang ser ut så här:
jag tänker mig först en ihålig sfär med massan
dm = ρ⋅dV.
Volymen
dV i det här fallet blir då sfärens area (
4⋅π⋅r²) multiplicerat med tjockleken
dr;
med andra ord, volymen
dV = 4⋅π⋅r²⋅dr, vilket då ger att massan
dm = ρ⋅4⋅π⋅r²⋅dr.
Om jag nu sätter in det här resultatet i definitionen för tröghetsmoment (
dI = r²⋅dm) så får jag ekvationen
dI = r²⋅ρ⋅4⋅π⋅r²⋅dr.
Därefter så integrerar jag alltihop från
0 till
R och får resultatet
I = (4/5)⋅π⋅ρ⋅R⁵.
Nu är det ju meningen att jag ska kunna sätta in sfärens totala massa (
M = ρ⋅V = ρ⋅4⋅π⋅R³/3) i den här ekvationen, men om jag gör det så får jag resultatet
I = (3/5)⋅M⋅R², och det är tydligen inte riktigt korrekt eftersom min konstant blir
3/5, men den ska ju egentligen ha värdet
2/5...?