Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2017-03-19, 15:53
  #1
Medlem
Jag håller just nu på att försöka härleda tröghetsmomentet för en sfär, och jag försöker göra det genom att integrera massan för en ihålig sfär eftersom jag tycker att det känns mycket mer naturligt än att integrera över en skiva.
Problemet är bara att jag verkar få fel resultat, trots att jag tycker att jag resonerar på ett ganska vettigt sätt.

Mitt resonemang ser ut så här:
jag tänker mig först en ihålig sfär med massan dm = ρdV.
Volymen dV i det här fallet blir då sfärens area (4⋅πr²) multiplicerat med tjockleken dr;
med andra ord, volymen dV = 4⋅πr²⋅dr, vilket då ger att massan dm = ρ⋅4⋅πr²⋅dr.

Om jag nu sätter in det här resultatet i definitionen för tröghetsmoment (dI = r²⋅dm) så får jag ekvationen dI = r²⋅ρ⋅4⋅πr²⋅dr.
Därefter så integrerar jag alltihop från 0 till R och får resultatet I = (4/5)⋅π⋅ρR.

Nu är det ju meningen att jag ska kunna sätta in sfärens totala massa (M = ρV = ρ⋅4⋅πR³/3) i den här ekvationen, men om jag gör det så får jag resultatet I = (3/5)⋅MR², och det är tydligen inte riktigt korrekt eftersom min konstant blir 3/5, men den ska ju egentligen ha värdet 2/5...?
__________________
Senast redigerad av Mikael861 2017-03-19 kl. 15:57.
Citera
2017-03-19, 16:13
  #2
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Mikael861
Jag håller just nu på att försöka härleda tröghetsmomentet för en sfär, och jag försöker göra det genom att integrera massan för en ihålig sfär eftersom jag tycker att det känns mycket mer naturligt än att integrera över en skiva.
Problemet är bara att jag verkar få fel resultat, trots att jag tycker att jag resonerar på ett ganska vettigt sätt.

Mitt resonemang ser ut så här:
jag tänker mig först en ihålig sfär med massan dm = ρdV.
Volymen dV i det här fallet blir då sfärens area (4⋅πr²) multiplicerat med tjockleken dr;
med andra ord, volymen dV = 4⋅πr²⋅dr, vilket då ger att massan dm = ρ⋅4⋅πr²⋅dr.

Om jag nu sätter in det här resultatet i definitionen för tröghetsmoment (dI = r²⋅dm) så får jag ekvationen dI = r²⋅ρ⋅4⋅πr²⋅dr.
Därefter så integrerar jag alltihop från 0 till R och får resultatet I = (4/5)⋅π⋅ρR.

Nu är det ju meningen att jag ska kunna sätta in sfärens totala massa (M = ρV = ρ⋅4⋅πR³/3) i den här ekvationen, men om jag gör det så får jag resultatet I = (3/5)⋅MR², och det är tydligen inte riktigt korrekt eftersom min konstant blir 3/5, men den ska ju egentligen ha värdet 2/5...?


Ett bra tips att komma ihåg, sfär = ihålig boll, klot = solid boll.

Du kan inte använda denna ekvationen, (dI = r²⋅dm):

Det du ska göra är att summera alla små klotskals trögehtsmoment m.h.a en integral.
Ett klotskal har tröghetsmomentet 2/3 mR^2.

Integralen blir då

(dI = 2/3*r²⋅dm)

Har inte kontrollräknat med det borde bli rätt om du använder denna integral istället.
Citera
2017-03-19, 16:13
  #3
Medlem
nerdnerds avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Mikael861
Om jag nu sätter in det här resultatet i definitionen för tröghetsmoment (dI = r²⋅dm)....

Här ovan är felet. Det r som ska användas är det vinkelräta avståndet från rotationsaxeln. Om du t ex använder polära koordinater med z-axeln som rotationsaxel, så ges det vinkelräta avståndet av
r sin(θ)
Och ditt volymselement måste ersättas med
dV=2πr²sin(θ)drdθ
Citera
2017-03-19, 16:23
  #4
Medlem
nihilverums avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Mikael861
Jag håller just nu på att försöka härleda tröghetsmomentet för en sfär, och jag försöker göra det genom att integrera massan för en ihålig sfär eftersom jag tycker att det känns mycket mer naturligt än att integrera över en skiva.
Problemet är bara att jag verkar få fel resultat, trots att jag tycker att jag resonerar på ett ganska vettigt sätt.

Mitt resonemang ser ut så här:
jag tänker mig först en ihålig sfär med massan dm = ρdV.
Volymen dV i det här fallet blir då sfärens area (4⋅πr²) multiplicerat med tjockleken dr;
med andra ord, volymen dV = 4⋅πr²⋅dr, vilket då ger att massan dm = ρ⋅4⋅πr²⋅dr.

Om jag nu sätter in det här resultatet i definitionen för tröghetsmoment (dI = r²⋅dm) så får jag ekvationen dI = r²⋅ρ⋅4⋅πr²⋅dr.
Därefter så integrerar jag alltihop från 0 till R och får resultatet I = (4/5)⋅π⋅ρR.

Nu är det ju meningen att jag ska kunna sätta in sfärens totala massa (M = ρV = ρ⋅4⋅πR³/3) i den här ekvationen, men om jag gör det så får jag resultatet I = (3/5)⋅MR², och det är tydligen inte riktigt korrekt eftersom min konstant blir 3/5, men den ska ju egentligen ha värdet 2/5...?

Felet ligger i att du använt sfäriska koordinater och antagit att dI = r²⋅dm gäller med det sfäriska koordinatsystemets r. Det sambandet gäller specifikt för det cylindriska koordinatsystemets r, eftersom tröghetsmoment per definition gäller för rotation runt en viss axel. Man måste alltså använda metoden med tunna skivor för att överhuvudtaget använda sambandet dI = r²⋅dm.

Du kan hitta en härledning baserat på detta i den här PDF:en, sida 3.
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback