Binomialsatsen

Hej

Jag har matteprov på torsdag och jag har massa att plugga på...

Bestäm den andra och den fjärde termen i utvecklingen av (2a+3b)^5

Jag räknade ut den andra termen först:
(5 1)2a^4*3b = 30a^4b men svar är 240a^4b.. varför??

På den fjärde:
(5 3)2a^2*3b^2 = 60a^2b^2.. men svar är 1080a^2*b^2
Jag gjorde exakt lika som det står på min lärobok men svar är ...

Lite oklart med vad som menas med t ex "andra termen", men det verkar ju iaf handla om a^4b-termen. Den blir

(5 1)(2a)^4•3b = 5•2^4•a^4•3b = 5•16•3•a^4•b = 240 a^4 b

Du har gjort ett liknande fel på andra.

Aha menar du att jag måste
göra så
(5 1)(2a)^4•3b

istället
(5 1)2a^4•3b ?

och på fjärde termen det måste bli
(5 3)(2a)^2(3b)^3?

Just så.

Det är ganska enkelt, rita upp pascal triangel.



osv....

då vet man direkt att (2a+3b)^5=32 a^5 + 240 a^4 b + 720 a^3 b^2 + 1080 a^2 b^3 + 810 a b^4 + 243 b^5

Hur menar du att man kan missuppfatta "den andra termen i utvecklingen" skulle syfta på?
Syftar du på att man kan fördela summans termer hur man vill? Kommutativa lagen för addition?

Ffa kan man vända hela summan åt andra hållet. Som jag nog faktiskt skulle ha gjort själv i detta fall:

(2a+3b)^5 = ∑ (5 k)•(2a)^k•(3b)^(5-k)
[summa över k från 0 till 5]
= (5 0)•(2a)^0•(3b)^5 + (5 1)•(2a)^1•(3b)^4 + ...

Dvs min andra term är inte samma som i frågeställningen. Är det bara jag som gör så? Det är iaf inte fel, bara just en annan ordning av termerna.

Aha, ok, intressant, får man fråga varför du vänder på det? Följer det ett mer naturligt mönster?

Vet faktiskt inte riktigt vad jag ska svara. Det KÄNNS nog mer naturligt så för mig i det här problemet. I andra problem kan det vara på ett annat sätt. Det är ingen stor grej för mig, noterade bara nu att iaf wikipedia inte gör på mitt sätt i den här uppgiften. Jag är inte direkt någon nybörjare, och det har nog blivit så både om detta och en del annat att jag har lagt mig till med en del egenheter genom åren.

Vad är "naturligast"? Då talar vi nog mer om estetik än om matematik. Vad är "vackrast"? Iaf en sorts tumregel är att ta de enklaste delarna först i en formel, typ
5•k•x^3•cos(1+√x)
istället för t ex
k•cos(√x+1)•5•x^3.
I den meningen är nog
(2a+3b)^5 = ∑ (5 k)•(2a)^k•(3b)^(5-k)
något "vackrare" än
(2a+3b)^5 = ∑ (5 k)•(2a)^(5-k)•(3b)^k
eftersom 5-k är lite mer komplicerat än k.
Typ så.

Men ok, ska man ge tips här är det nog bra om man iaf inte medvetet avviker från läroböckerna.