Visa att E är en bas i Rummet R^(2x2)

Hej! Jag behöver hjälp med följande tal,

Visa att E=(E11, E12, E21, E22) är en bas i rummet R^(2x2) av 2x2-matriser.

E11 =
1 0
0 0

E12 =
0 1
0 0

E21 =
0 0
1 0

E22 =
0 0
0 1

Tack!!

Vektorerna E11, E12, E21, E22 måste vara linjärt oberoende för att funka som
basvektorer i R^(2x2). Visa alltså att

a E11 + b E12 + c E21 + d E22 = 0 <=> a = b = c = d = 0.

Tack, men jag behöver väl visa något annat också? För att det ska vara en bas krävs det att de ska vara linjärt oberoende, men också att de spänner upp mitt rum R^(2x2). Hur visar jag detta? Annars är inte mitt bevis fullbordat

Hur många basvektorer behöver du för att spänna upp R^(2x2)?

Jag antar 4, men förstår det inte riktigt. R^(2x2) är ju en matris, men säger väl ingenting om vilket rum det egentligen är?

Elementen i R^(2x2) är matriser!. Hur många koordinater krävs för att ange en godtycklig ”punkt” i R^(2x2)?

Isåfall om jag förstår det rätt så att få ut en "punkt" i R^(2x2) så krävs det väl 4 koordinater?

Ja, du har isomorfin R^(2×2) ↔ R^4, dvs R^(2×2) är 4-dimensionellt.

Alright, tack så jättemycket!! Genom dessa två påstående så antar jag att jag har bevisat att det är en bas?

Får jag fråga dig om en annan? F: R^3 --> R^3 ges i standarsbasen av matrisen,

A =
1 -1 1
1 2 4
-1 0 -2

Lös ekvationerna
a)
F(u) =
1
1
1

b)
F(u)
1
7
-3

Ställ upp ekvationssystemet Ax=b och lös genom gausselimination.
I ditt fall i a) är b=[1,1,1]

Lös alltså:
1 -1 1 | 1
1 2 4 | 1
-1 0 -2 | 1