Nedan följer ett gäng frågor med anknytning till konvergensegenskaper och sätt att uttrycka matematik på.
Fråga 1: Finns det likheter där leden konvergerar mot det sökta värdet olika fort? Det vill säga, kan konvergenshastigheten mot ett värde vara vara olika även om en likhet gäller?
Ta exempelvis
Jag tänker att det är sant i detta fall, ja. Vi kan utveckla båda leden i en Taylorserie som är identiskt lika med varandra, så rimligtvis konvergerar de båda i polynomiell takt (x^n) där n går mot oändligheten. Då blir frågan istället hur fort n går mot oändligheten och hur fort x går mot a? Kan man välja fritt?
Fråga 2: Finns ett perfekt sätt att skriva sin³(x) på? Ett sätt som gör att sin³(x) på denna form konvergerar snabbare mot varje värde än alla andra sätt att uttrycka det på.
Fråga 3: Antag nu att vi har ett uttryck sådant att Lagrange restterm i Taylorutvecklingen är divergent, så att respektive led inte kan beskrivas fullständigt av ett Taylorpolynom. Går det att på något sätt bekräfta att respektive led är ekvivalenta (identiskt lika med varandra) och närmar sig varje gränsvärde lika fort?
Fråga 4: Egentligen en generalisering av fråga 2. Finns det en perfekt form att skriva ett matematiskt uttryck på? En uttrycksform som gör att dess konvergensegenskaper är kraftfullare alla andra sätt att uttrycka uttrycket på. Det vill säga att det inte går att välja ett bättre sätt att uttrycka någonting på än just detta sätt. Kanske en mer filosofisk än en matematisk fråga. Ett exempel: Det finns mer eller mindre effektiva algoritmer för att ta fram värdet för pi, i meningen att de konvergerar mot pi olika fort. Frågan är då, finns det en bästa metod att ta fram värdet för pi med?
Jag hoppas att jag inte har varit för otydlig, i sådana fall får ni be mig förtydliga.
Fråga 1: Finns det likheter där leden konvergerar mot det sökta värdet olika fort? Det vill säga, kan konvergenshastigheten mot ett värde vara vara olika även om en likhet gäller?
Ta exempelvis
sin³(x) = 1/4[3sin(x) - sin(3x)]Innebär det säkert att vänster led konvergerar lika fort till ett värde jämfört med höger led?
lim x-> a sin³(x) = lim x-> a 1/4[3sin(x) - sin(3x)]Med att konvergera mot ett värde menar jag att felet mellan det faktiska värdet och gränsvärdet går mot noll.
Jag tänker att det är sant i detta fall, ja. Vi kan utveckla båda leden i en Taylorserie som är identiskt lika med varandra, så rimligtvis konvergerar de båda i polynomiell takt (x^n) där n går mot oändligheten. Då blir frågan istället hur fort n går mot oändligheten och hur fort x går mot a? Kan man välja fritt?
Fråga 2: Finns ett perfekt sätt att skriva sin³(x) på? Ett sätt som gör att sin³(x) på denna form konvergerar snabbare mot varje värde än alla andra sätt att uttrycka det på.
Fråga 3: Antag nu att vi har ett uttryck sådant att Lagrange restterm i Taylorutvecklingen är divergent, så att respektive led inte kan beskrivas fullständigt av ett Taylorpolynom. Går det att på något sätt bekräfta att respektive led är ekvivalenta (identiskt lika med varandra) och närmar sig varje gränsvärde lika fort?
Fråga 4: Egentligen en generalisering av fråga 2. Finns det en perfekt form att skriva ett matematiskt uttryck på? En uttrycksform som gör att dess konvergensegenskaper är kraftfullare alla andra sätt att uttrycka uttrycket på. Det vill säga att det inte går att välja ett bättre sätt att uttrycka någonting på än just detta sätt. Kanske en mer filosofisk än en matematisk fråga. Ett exempel: Det finns mer eller mindre effektiva algoritmer för att ta fram värdet för pi, i meningen att de konvergerar mot pi olika fort. Frågan är då, finns det en bästa metod att ta fram värdet för pi med?
Jag hoppas att jag inte har varit för otydlig, i sådana fall får ni be mig förtydliga.
