Analytiska funktioner

Hej, jag behöver hjälp med den här uppgiften. Kan någon hjälpa mig?

Låt γ vara cirkeln |z − a| = r, orienterad moturs (a är en punkt i det komplexa planet)

Visa att [tex]\int \frac{dz}{(z-a)^k}=2\pi i[/tex] k=1 och 0 för övriga heltal k.

Tack på förhand!

Ta och parametrisera kurvan som z = re^(iθ) + a, vad får du för integral när du gör det?

Det finns en b) del också som ser ut såhär:

Visa att om a är skilt från 0, så är [tex]\int \frac{zdz}{(z-a)^k}=2\pi ai[/tex] för k=1, 2pi*i för k=2 och 0 för övriga heltal k.

Man gör exakt samma sak som på den tidigare.

Ok, i den första uppgiften så fick jag fram att:

{integral}1/(z-a) = 1/(z(t)-a)*dz(t)/dt dt = ire^(it)/re^(it) dt = 2pi*i, där gränsen var 0<t<2pi
och vill bara påpeka att det är ett integraltecken framför varje tal (orkade inte skriva upp det :P)

Hur skulle man då kunna göra på a)? Är det bara att ta hänsyn till zdz istället för dz?

På den första blir det så om k = 1, men du ska ju också visa att den blir noll då k ≠ 1. Så du behöver alltså också beräkna den för dessa k.

På b) använder du att

∫ z dz/(z - a)^k = ∫_{0, 2pi} (re^(iθ) + a) ire^(iθ)/(r^k e^(iθk)) dθ

den är det bara att beräkna den.

Tack så mycket!!